Để chứng minh biểu thức \( 81^7 - 27^9 \cdot 9^{13} \), chúng ta sẽ biến đổi các số hạng trong biểu thức này về cùng một cơ số.

Ta biết rằng:
- \( 81 = 3^4 \) (vì \( 3^4 = 81 \))
- \( 27 = 3^3 \)
- \( 9 = 3^2 \)

Vậy ta có thể viết lại biểu thức như sau:

\[
81^7 = (3^4)^7 = 3^{28}
\]

Và cho phần thứ hai:

\[
27^9 = (3^3)^9 = 3^{27}
\]
\[
9^{13} = (3^2)^{13} = 3^{26}
\]

Kết hợp lại, ta có:

\[
27^9 \cdot 9^{13} = 3^{27} \cdot 3^{26} = 3^{27 + 26} = 3^{53}
\]

Bây giờ thay vào biểu thức ban đầu:

\[
81^7 - 27^9 \cdot 9^{13} = 3^{28} - 3^{53}
\]

Ta có thể viết thành:

\[
= 3^{28} (1 - 3^{53-28}) = 3^{28} (1 - 3^{25})
\]

Vậy ta đã biến đổi được biểu thức ban đầu thành dạng:

\[
3^{28} (1 - 3^{25})
\]

Rõ ràng \( 3^{28} \) là một số dương và \( 1 - 3^{25} < 0 \) vì \( 3^{25} > 1 \).

Do đó, \( 81^7 - 27^9 \cdot 9^{13} = 3^{28} (1 - 3^{25}) < 0 \).

Kết luận, biểu thức \( 81^7 - 27^9 \cdot 9^{13} \) có giá trị âm.