Rút gọn biểu thức

Để rút gọn biểu thức

\[
\frac{\frac{4}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{x - 1}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - 1} - 1},
\]

ta sẽ làm theo từng bước như sau.

### Bước 1: Rút gọn Tử số

Tử số là

\[
\frac{4}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{x - 1}.
\]

Ta sẽ đưa về cùng mẫu. Mẫu của thành phần thứ hai là \(x - 1\), có thể viết lại là:

\[
x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1).
\]

Do đó, ta có thể viết lại biểu thức:

\[
\frac{\sqrt{x}}{x - 1} = \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}.
\]

Giờ ta cần đưa về cùng mẫu với \( \frac{4}{\sqrt{x} - 1} \):

\[
\frac{4(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} + \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{4(\sqrt{x} + 1) + \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}.
\]

Vậy tử số trở thành \( 4(\sqrt{x} + 1) + \sqrt{x} = 4\sqrt{x} + 4 + \sqrt{x} = 5\sqrt{x} + 4\).

Tử số là:

\[
\frac{5\sqrt{x} + 4}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}.
\]

### Bước 2: Rút gọn Mẫu số

Mẫu số là:

\[
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - 1} - 1.
\]

Đưa về cùng mẫu:

\[
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{\sqrt{2} - (\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} - 1} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}.
\]

### Bước 3: Thay thế vào biểu thức

Giờ đây biểu thức có dạng:

\[
\frac{\frac{5\sqrt{x} + 4}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}}{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}}.
\]

Ta sẽ đảo mẫu số và nhân lên:

\[
=\frac{5\sqrt{x} + 4}{(\sqrt{x} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{2} - \sqrt{x} + 1}.
\]

### Bước 4: Kết quả cuối cùng

Biểu thức cuối cùng sau khi rút gọn là:

\[
\frac{(5\sqrt{x} + 4)(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{2} - \sqrt{x} + 1)}.
\]

Đây chính là biểu thức đã được rút gọn. Nếu bạn cần rút gọn tình huống cụ thể hơn nữa hoặc thực hiện các phép tính tiếp theo, hãy cho mình biết thêm chi tiết nhé!