### Chứng minh tam giác ABH = ACH

Để chứng minh hai tam giác ABH và ACH bằng nhau, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác cân cùng với tính chất của đường phân giác, đường trung tuyến và một số tính chất hình học.

1. **Tam giác ABC là tam giác cân tại A:**
- Khi đó AB = AC.

2. **AD là đường phân giác của góc A:**
- Nghĩa là \(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = 1\) (do ABC cân), từ đó \(BD = DC\).
- Đây cũng có nghĩa là D là trung điểm của BC.

3. **BE là đường trung tuyến:**
- E là trung điểm của AC, nên AE = EC.

4. **H là giao điểm của AD và BE:**
- Từ H, kẻ đường thẳng nối H với A, B, C. Ta sẽ tính diện tích của tam giác ABH và tam giác ACH.

### Tính diện tích của tam giác ABH và ACH

- **Diện tích tam giác ABH:**
\[
S_{ABH} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH \cdot \sin(ABH)
\]

- **Diện tích tam giác ACH:**
\[
S_{ACH} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AH \cdot \sin(ACH)
\]

- Vì AB = AC trong tam giác cân ABC, và AD bisect góc A nên \(\sin(ABH) = \sin(ACH)\).

=> Do đó, \(S_{ABH} = S_{ACH}\).

=> Kết luận: \(\triangle ABH = \triangle ACH\).

### B. Kẻ đường thẳng song song với AD

Kẻ đường thẳng CF song song với AD sẽ cắt BE tại điểm F. Từ đây ta thấy rằng tam giác ABF và ACC là hai tam giác đồng dạng (vì chúng có một góc chung tại A và các góc bên còn lại cũng bằng nhau).

### C. Gọi G là giao điểm của FD và CH

Bây giờ hãy xem xét tam giác FGD và HED.

- Chúng ta có thể sử dụng định lý tỷ số để khẳng định rằng \(\frac{HG}{GE} = \frac{HG}{HE} = \frac{2}{3}\).

### Kết luận

Thông qua các bước trên, chúng ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán. Thực hiện đúng toán học sẽ cho ta thấy mỗi mối quan hệ trong tam giác ABH và ACH là tương đồng và từ đó các kết quả được khẳng định chắc chắn.