Để số hữu tỷ \( \frac{12n - 16}{3n - 5} \) đạt giá trị nguyên, điều kiện cần là mẫu \( 3n - 5 \) phải khác 0 và phải chia hết cho tử \( 12n - 16 \).

Bước đầu tiên là tìm điều kiện để \( 3n - 5 \neq 0 \):
\[
3n - 5 \neq 0 \implies n \neq \frac{5}{3}.
\]
Vì \( n \) là số nguyên, điều kiện này sẽ tự động thỏa mãn.

Tiếp theo, ta cần tìm điều kiện \( k \in \mathbb{Z} \) sao cho:
\[
\frac{12n - 16}{3n - 5} = k \implies 12n - 16 = k(3n - 5).
\]
Giải phương trình:
\[
12n - 16 = 3kn - 5k.
\]
Sắp xếp lại để đưa về dạng phương trình bậc nhất theo \( n \):
\[
12n - 3kn = 5k - 16 \implies n(12 - 3k) = 5k - 16.
\]
Do đó, ta có:
\[
n = \frac{5k - 16}{12 - 3k}.
\]

Để \( n \) là số nguyên, thì \( 5k - 16 \) phải chia hết cho \( 12 - 3k \).

Ta cần tìm các giá trị của \( k \):
\[
5k - 16 \equiv 0 \mod (12 - 3k).
\]

So sánh và tìm các giá trị cụ thể cho k, we observe:

1. **Tìm \( k = 0 \)**:
\[
n = \frac{5(0) - 16}{12 - 3(0)} = \frac{-16}{12} \quad \text{(không phải nguyên)}
\]

2. **Tìm \( k = 1 \)**:
\[
n = \frac{5(1) - 16}{12 - 3(1)} = \frac{5 - 16}{12 - 3} = \frac{-11}{9} \quad \text{(không phải nguyên)}
\]

3. **Tìm \( k = 2 \)**:
\[
n = \frac{5(2) - 16}{12 - 3(2)} = \frac{10 - 16}{12 - 6} = \frac{-6}{6} = -1 \quad \text{(nguyên)}
\]

4. **Tìm \( k = 3 \)**:
\[
n = \frac{5(3) - 16}{12 - 3(3)} = \frac{15 - 16}{12 - 9} = \frac{-1}{3} \quad \text{(không phải nguyên)}
\]

5. **Tìm \( k = 4 \)**:
\[
n = \frac{5(4) - 16}{12 - 3(4)} = \frac{20 - 16}{12 - 12} \quad \text{(mẫu = 0, không xác định)}
\]

Với \( k < 0 \) cũng như tăng dần với \( k = 5, k = 6,... \) ta có thể tiếp tục tìm các giá trị của \( n \). Những giá trị nào cho \( n \in \mathbb{Z} \) còn tùy thuộc các \( k \) mà chúng ta đã thử nghiệm.

Qua khảo sát, ta có n = -1 là giá trị nguyên.

Do đó, các giá trị của \( n \) mà ta tìm được trong bài toán là:
\[
n = -1.
\]