Chúng ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của từng biểu thức được đưa ra:

### a. Biểu thức: \( x^2 + x + 1 \)

Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta có thể dùng công thức tính giá trị nhỏ nhất của một hàm bậc hai. Hàm này có dạng:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
với \( a = 1, b = 1, c = 1 \).

Giá trị nhỏ nhất của hàm bậc hai xảy ra tại:
\[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2} \]

Thay vào biểu thức để tìm giá trị nhỏ nhất:
\[
f\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{4}{4} = \frac{3}{4}
\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( x^2 + x + 1 \) là \( \frac{3}{4} \).

### b. Biểu thức: \( 4x^2 + 4x - 5 \)

Chúng ta cũng sẽ dùng phương pháp tương tự:
Hàm này có dạng:
\[ f(x) = 4x^2 + 4x - 5 \]
với \( a = 4, b = 4, c = -5 \).

Tính giá trị nhỏ nhất tại:
\[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 4} = -\frac{1}{2} \]

Thay vào biểu thức:
\[
f\left(-\frac{1}{2}\right) = 4\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 4\left(-\frac{1}{2}\right) - 5 = 4 \cdot \frac{1}{4} - 2 - 5 = 1 - 2 - 5 = -6
\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( 4x^2 + 4x - 5 \) là \( -6 \).

### c. Biểu thức: \( (x-3)(x+5) + 4 \)

Giải:

Mở rộng biểu thức:
\[
f(x) = (x^2 + 2x - 15) + 4 = x^2 + 2x - 11
\]

Đây là một hàm bậc hai với \( a = 1, b = 2 \). Tính giá trị nhỏ nhất:
\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1
\]

Thay vào:
\[
f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 11 = 1 - 2 - 11 = -12
\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( (x-3)(x+5) + 4 \) là \( -12 \).

### d. Biểu thức: \( x^2 - 4x + y^2 - 8y + 6 \)

Tách biệt các phần:
1. \( x^2 - 4x \)
2. \( y^2 - 8y \)

Đầu tiên, tính giá trị nhỏ nhất cho \( x^2 - 4x \):
\[
= (x-2)^2 - 4
\]
Giá trị nhỏ nhất là \( -4 \) khi \( x = 2 \).

Tiếp theo, tính giá trị nhỏ nhất cho \( y^2 - 8y \):
\[
= (y-4)^2 - 16
\]
Giá trị nhỏ nhất là \( -16 \) khi \( y = 4 \).

Gộp lại:
\[
f(x, y) = (x-2)^2 - 4 + (y-4)^2 - 16 + 6 = (x-2)^2 + (y-4)^2 - 14
\]
Giá trị nhỏ nhất của \( (x-2)^2 + (y-4)^2 \) là \( 0 \) khi \( x = 2 \) và \( y = 4 \).

Do đó, giá trị nhỏ nhất là:
\[
0 - 14 = -14
\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( x^2 - 4x + y^2 - 8y + 6 \) là \( -14 \).

### Tổng kết

- a. \( \min(x^2 + x + 1) = \frac{3}{4} \)
- b. \( \min(4x^2 + 4x - 5) = -6 \)
- c. \( \min((x-3)(x+5) + 4) = -12 \)
- d. \( \min(x^2 - 4x + y^2 - 8y + 6) = -14 \)