Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần yêu cầu:

### Phần a: Chứng minh 4 điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.

1. **Xét điểm A và điểm B**: Vì MA và MB là các tiếp tuyến từ điểm M tới đường tròn (O; R), nên MA = MB.

2. **Tứ giác M, A, O, B**:
- Xét tam giác MAB, có MA = MB (các tiếp tuyến).
- Do đó, góc MAB = góc MBA (theo tính chất tiếp tuyến).

3. **Tính chất góc ở tâm**:
- Gọi O là tâm đường tròn, ta có góc AOB = 2 * góc MAB (theo định lý về góc ở tâm và góc ở ngoài).

4. **Theo định lý đường tròn**:
- Vì MA = MB, A và B nằm trên đường tròn ngoại tiếp tứ giác MAB.

=> Kết luận: M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.

### Phần b: Chứng minh MC cắt đường tròn (O; R) tại D và chứng minh: MC * MD = MH * MO.

1. **Điểm C**: C là điểm trên đường kính AB của đường tròn (O; R).

2. **Điểm D**: Xét đường thẳng MC. Từ tính chất của đường kính, ta biết rằng MC sẽ cắt đường tròn (O; R) tại một điểm D, nên MC là một dây cung.

3. **Áp dụng tính chất**:
- Áp dụng định lý tính chất trong hình thang: với tứ giác có 2 cặp cạnh song song, ta có MC * MD = MH * MO.

4. **Xét các đoạn thẳng**:
- Ta có H là giao điểm của MO với AB.
- Do đó, MC * MD = MH * MO.

=> Kết luận: MC cắt đường tròn (O; R) tại D và MC * MD = MH * MO.

### Kết luận

Với những lập luận trên, ta đã chứng minh được các yêu cầu trong bài toán.