Để rút gọn biểu thức bạn đã cho, ta sẽ xử lý từng phần một cách cẩn thận. Giả sử biểu thức ban đầu là:

\[
\frac{4}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{x - 1}
\]

và chia cho:

\[
\left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - 1} - 1 \right)
\]

Trước tiên, ta sẽ phân tích các thành phần trong biểu thức.

### Bước 1: Tìm mẫu số chung

Ta sẽ tìm mẫu số chung cho hai phân thức trong phần tử chia và phần tử cộng.

1. Với phần \(\frac{4}{\sqrt{x} - 1}\):

- Mẫu số là \(\sqrt{x} - 1\).

2. Với phần \(\frac{\sqrt{x}}{x - 1}\):

- Từ \(x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)\), ta có thể viết lại phần này như sau:

\[
\frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}
\]

### Bước 2: Cộng hai phân thức

Bây giờ ta sẽ cộng \( \frac{4}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \):

Ta chuyển đổi \(\frac{4}{\sqrt{x} - 1}\) để có cùng mẫu số với phân thức thứ hai:

\[
\frac{4(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} + \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{4(\sqrt{x} + 1) + \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}
\]

Khi đó, tử số trở thành:

\[
4\sqrt{x} + 4 + \sqrt{x} = 5\sqrt{x} + 4
\]

Do đó, phần tử cộng trở thành:

\[
\frac{5\sqrt{x} + 4}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}
\]

### Bước 3: Xử lý phần tử chia

Bây giờ, ta cần chia cho \(\left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - 1} - 1 \right)\):

Trước tiên, tính \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - 1} - 1\):

\[
\frac{\sqrt{2} - (\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} - 1} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}
\]

### Bước 4: Tính toàn bộ biểu thức

Cuối cùng, ta sẽ thực hiện phép chia:

\[
\frac{\frac{5\sqrt{x} + 4}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}}{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}} = \frac{5\sqrt{x} + 4}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{2} - \sqrt{x} + 1)}
\]

### Kết quả

Vậy kết quả của biểu thức ban đầu rút gọn sẽ là:

\[
\frac{5\sqrt{x} + 4}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{2} - \sqrt{x} + 1)}
\]

Bạn có thể kiểm tra lại mọi bước đi để đảm bảo tính chính xác trong quá trình rút gọn.