Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán theo đúng trình tự.

### Phần a: Giải phương trình \(5^{x + 1} - 5^x = 100 \cdot 25^{29}\)

Phương trình có thể viết lại như sau:

\[
5^{x + 1} - 5^x = 100 \cdot (5^2)^{29}
\]

Giải thích:

- Ta biết rằng \(25 = 5^2\), do đó \(25^{29} = (5^2)^{29} = 5^{58}\).

Vậy ta có phương trình:

\[
5^{x + 1} - 5^x = 100 \cdot 5^{58}
\]

Gọi \(5^x = y\), ta có:

\[
5y - y = 100 \cdot 5^{58}
\]

Rút gọn phương trình:

\[
4y = 100 \cdot 5^{58}
\]

=> \(y = 25 \cdot 5^{58} = 25 \cdot 5^{58} = 5^2 \cdot 5^{58} = 5^{60}\).

Bây giờ quay lại với \(y\):

\[
5^x = 5^{60}
\]

Kết luận:

\[
x = 60.
\]

### Phần b: Giải phương trình

\[
\frac{1}{5} \cdot 2^x + \frac{1}{3} \cdot 2^x + 1 = \frac{1}{5} \cdot 2^7 + \frac{1}{3} \cdot 2^8.
\]

Gom nhóm các hạng tử bên trái:

\[
\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{3}\right) \cdot 2^x + 1.
\]

Tính tổng:

\[
\frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3}{15} + \frac{5}{15} = \frac{8}{15}.
\]

Vậy chúng ta có:

\[
\frac{8}{15} \cdot 2^x + 1 = \frac{1}{5} \cdot 2^7 + \frac{1}{3} \cdot 2^8.
\]

Giờ tính bên phải:

- \(\frac{1}{5} \cdot 2^7 = \frac{2^7}{5} = \frac{128}{5}\)
- \(\frac{1}{3} \cdot 2^8 = \frac{2^8}{3} = \frac{256}{3}\)

Đưa cả hai về mẫu chung là 15 để tính dễ hơn:

\[
\frac{128}{5} = \frac{128 \cdot 3}{15} = \frac{384}{15}
\]
\[
\frac{256}{3} = \frac{256 \cdot 5}{15} = \frac{1280}{15}
\]

Vậy bên phải trở thành:

\[
\frac{384 + 1280}{15} = \frac{1664}{15}.
\]

Bây giờ phương trình:

\[
\frac{8}{15} \cdot 2^x + 1 = \frac{1664}{15}.
\]

Sau đó rút gọn:

\[
\frac{8}{15} \cdot 2^x = \frac{1664}{15} - 1 = \frac{1664 - 15}{15} = \frac{1649}{15}.
\]

Vậy ta có:

\[
8 \cdot 2^x = 1649 \implies 2^x = \frac{1649}{8}.
\]

Giải ra:

\[
2^x = 206.125.
\]

Cuối cùng, để tìm \(x\):

\[
x = \log_2(206.125).
\]

### Tổng kết

- Phần a: \(x = 60\).
- Phần b: Một phương trình liên quan đến logarit, không có giá trị nguyên cho \(x\).