Để tìm x trong biểu thức đã cho, trước tiên ta cần giải quyết các phần trong biểu thức này.

Biểu thức của bạn là:

\[
\left( \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{8.9} + \frac{1}{9.10} \right) \cdot 100 - \left[ \frac{5}{2} : \left( x + \frac{206}{100} \right) \right] : \frac{1}{2} = 89
\]

### Bước 1: Tính tổng các phần tử
Ta sẽ tính giá trị của tổng \( \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{9.10} \).

Tổng này có thể được rút gọn như sau:

\[
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
\]

Do đó, tổng có thể viết lại thành:

\[
\sum_{n=1}^{9} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}
\]

### Bước 2: Tính giá trị biểu thức
Cho ta:

\[
\text{Tổng} = \frac{9}{10}, \quad \text{do đó } \left( \frac{9}{10} \right) \cdot 100 = 90
\]

### Bước 3: Thay vào biểu thức
Thay vào biểu thức chính:

\[
90 - \left[ \frac{5}{2} : \left( x + \frac{206}{100} \right) \right] : \frac{1}{2} = 89
\]

### Bước 4: Giải phương trình
Chúng ta có thể viết lại:

\[
90 - \left( \frac{5}{2} : (x + 2.06) \right) \cdot 2 = 89
\]

Giải phương trình này, ta có:

\[
90 - \frac{5}{(x + 2.06)} = 89
\]

\[
\frac{5}{(x + 2.06)} = 1
\]

Đến đây, giải phương trình đó:

\[
5 = x + 2.06
\]

### Bước 5: Tìm x
\[
x = 5 - 2.06 = 2.94
\]

### Kết luận
Giá trị của x là:

\[
\boxed{2.94}
\]