Bài 13. Cho hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
2x + ay = -4 \\
ax - 3y = 5
\end{cases}
\]

a) Giải hệ phương trình với \(a = 1\)

Thay \(a = 1\) vào hệ:

\[
\begin{cases}
2x + y = -4 \\
x - 3y = 5
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này bằng phương pháp cộng đại số:
1. Giải phương trình thứ hai \(x = 5 + 3y\).
2. Thế \(x\) vào phương trình thứ nhất:

\[2(5 + 3y) + y = -4\]

\[10 + 6y + y = -4\]

\[10 + 7y = -4\]

\[7y = -4 - 10\]

\[7y = -14\]

\[y = -2\]

3. Thay \(y = -2\) vào \(x = 5 + 3y\):

\[x = 5 + 3(-2)\]

\[x = 5 - 6\]

\[x = -1\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình khi \(a = 1\) là \( (x, y) = (-1, -2) \).

b) Tìm \(a\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Hệ phương trình có dạng:

\[
\begin{cases}
2x + ay = -4 \\
ax - 3y = 5
\end{cases}
\]

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số khác 0:

\[ D = \begin{vmatrix}
2 & a \\
a & -3
\end{vmatrix}
= 2 \cdot (-3) - a \cdot a
= -6 - a^2 \]

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

\[ -6 - a^2 \neq 0 \]

\[ a^2 \neq -6 \]

Điều này thỏa mãn với mọi giá trị của \(a\) (vì \(a^2\) luôn không âm).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của \(a\).