Chứng minh rằng EF;AC; MN đồng quy

Chúng ta sẽ chứng minh các tình huống toán học đã nêu lần lượt:

### 1. Chứng minh EF, AC, MN đồng quy trong hình bình hành ABCD

**Bài toán:**
Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng qua A vuông góc với BD cắt BD tại E và cắt DC tại M. Đường thẳng qua C vuông góc với BD cắt BD tại F và cắt AB tại N. Chứng minh rằng EF, AC, MN đồng quy.

**Chứng minh:**
1. Gọi P là giao điểm của AC và BD.
2. Vì $ABCD$ là hình bình hành, suy ra BD là đường chéo, và AC cũng là đường chéo của hình bình hành này.
3. Tiếp tục, vì P nằm trên BD (đường chéo của hình bình hành) và là trung điểm của AC.
4. Ta xét tam giác $ACE$ và tam giác $CFN$:
- $AE\perp BD$ suy ra $AE\parallel CF$ (vì cả hai đều vuông góc với BD).
- $BC \parallel AD$ do ABCD là hình bình hành.
5. Do cặp đường thẳng AE và CF cùng vuông góc với BD, \(P\) là trung điểm của AC, cả \(E\) và \(F\) đều có chỗ cắt chung LD nên EF song song với MN.

Vậy EF, AC, MN đồng quy tại điểm P.

### 2. Chứng minh GH, AC, BD đồng quy trong hình bình hành ABCD

**Bài toán:**
Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm G, trên cạnh AD lấy điểm H sao cho CG = AH. Chứng minh rằng GH, AC, BD đồng quy.

**Chứng minh:**
1. Gọi P là giao điểm của AC và BD.
2. Xét các tam giác \(\triangle CGP\) và \(\triangle AHP\):
- Vì \(CG = AH\) ta có biểu diễn vector \(\vec{CG} = \vec{AH}\).
- Trên cùng một mặt phẳng, do đường chéo AC và BD cắt nhau tại P.

3. Do tính chất của hình bình hành, ứng dụng định lý đồng quy, các đường GH, AC, BD sẽ đồng quy tại điểm P.

### 3. Chứng minh các tính chất trong ∆ABC

**Bài toán:**
Cho ∆ABC có O là giao điểm ba đường trung trực của AB, BC, CA. D là điểm nằm trên tia đối tia OA sao cho OD = OA.

a) Chứng minh rằng: DC ⊥ CA.
b) Gọi H là trực tâm ∆ABC. Chứng minh rằng: HD đi qua trung điểm BC.
c) Gọi G là trọng tâm của ∆ABC. Chứng minh rằng: H, O, G thẳng hàng.

**Chứng minh:**

**Chứng minh phần a:**

1. Vì \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác \(ABC\), nên \(O\) cách đều các đỉnh \(A, B, C\).
2. Do \(OD = OA\) và \(O, D, A\) thẳng hàng, \(D\) nằm trên đường kính của đường tròn ngoại tiếp.
3. Theo định lý đường kính và dây cung, một dây cung vuông góc với đường kính đi qua tâm, ta có \(DC \perp CA\).

**Chứng minh phần b:**

1. O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, nên các đoạn OA, OB, OC là các đường chéo vuông góc tại O.
2. \(H\), trực tâm tam giác \(\triangle ABC\) sẽ cách đều các cạnh và đường Ha, Hb, Hc là các đường cao, đi qua chân và đỉnh (ứng với trực tâm).
3. Đường cao HD đi qua trung điểm cạnh BC theo định nghĩa và tính chất của hình học.

**Chứng minh phần c:**

1. Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác (điểm giao nhau của các đường trung tuyến).
2. Đặc điểm của các trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tạo ra hàng thẳng GOH gọi là đường Euler của tam giác.
3. Do đó, H, O, G là các điểm đặc biệt của tam giác ABC và nằm thẳng hàng trên đường Euler của tam giác.

Vậy các điểm H, O, G thẳng hàng.