Cho hệ phương trình mx - y = 5 và 2x + 3my = 7

Hệ phương trình đã cho là:
\[
\begin{cases}
mx - y = 5 \\
2x + 3my = 7
\end{cases}
\]

a) Giải hệ phương trình với \( m = 2 \):

Thay \( m = 2 \) vào hệ phương trình, ta được:
\[
\begin{cases}
2x - y = 5 \\
2x + 3 \cdot 2y = 7
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
2x - y = 5 \\
2x + 6y = 7
\end{cases}
\]

Giải phương trình đầu tiên theo \( y \):
\[
y = 2x - 5
\]

Thay \( y = 2x - 5 \) vào phương trình thứ hai:
\[
2x + 6(2x - 5) = 7
\]
\[
2x + 12x - 30 = 7
\]
\[
14x - 30 = 7
\]
\[
14x = 37
\]
\[
x = \frac{37}{14}
\]

Thay \( x = \frac{37}{14} \) vào phương trình \( y = 2x - 5 \):
\[
y = 2 \cdot \frac{37}{14} - 5
\]
\[
y = \frac{74}{14} - 5
\]
\[
y = \frac{74}{14} - \frac{70}{14}
\]
\[
y = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình khi \( m = 2 \) là:
\[
\left( \frac{37}{14}, \frac{2}{7} \right)
\]

b) Tìm các giá trị của \( m \) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn \( x > 0 \) và \( y < 0 \):

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, định thức của hệ phương trình phải khác không:
\[
D = \begin{vmatrix}
m & -1 \\
2 & 3m
\end{vmatrix} = m \cdot 3m - (-1) \cdot 2 = 3m^2 + 2 \neq 0
\]
\[
\Rightarrow 3m^2 + 2 \neq 0 \\
\]
Điều này luôn đúng với mọi \( m \), do đó hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của \( m \).

Xét tiếp nghiệm duy nhất đó để biết khi nào \( x > 0 \) và \( y < 0 \).
Sử dụng công thức Cramer để giải hệ:
\[
D_x = \begin{vmatrix}
5 & -1 \\
7 & 3m
\end{vmatrix} = 5 \cdot 3m - (-1) \cdot 7 = 15m + 7
\]

\[
D_y = \begin{vmatrix}
m & 5 \\
2 & 7
\end{vmatrix} = m \cdot 7 - 5 \cdot 2 = 7m - 10
\]

Nghiệm của hệ phương trình là:
\[
x = \frac{D_x}{D} = \frac{15m + 7}{3m^2 + 2}
\]
\[
y = \frac{D_y}{D} = \frac{7m - 10}{3m^2 + 2}
\]

Để \( x > 0 \) và \( y < 0 \):
\[
\frac{15m + 7}{3m^2 + 2} > 0
\]
\[
\frac{7m - 10}{3m^2 + 2} < 0
\]

Xét điều kiện:
1. \(3m^2 + 2 > 0\), điều này luôn đúng với mọi \( m \).
2. \(15m + 7 > 0 \Rightarrow m > -\frac{7}{15}\)
3. \(7m - 10 < 0 \Rightarrow m < \frac{10}{7}\)

Kết hợp các điều kiện trên, ta được:
\[
-\frac{7}{15} < m < \frac{10}{7}
\]

Vậy các giá trị của \( m \) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn \( x > 0 \), \( y < 0 \) là:
\[
-\frac{7}{15} < m < \frac{10}{7}
\]