Để giải hệ phương trình trên, chúng ta thực hiện các bước sau:

Hệ phương trình ban đầu:
\[
\begin{cases}
2x + my = 9 \\
x - y = 24
\end{cases}
\]

a) Giải hệ phương trình với \( m = 1 \):

Khi \( m = 1 \), hệ phương trình trở thành:
\[
\begin{cases}
2x + y = 9 \\
x - y = 24
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này bằng phương pháp cộng đại số:

* Nhân phương trình thứ hai với 1 để tiện cộng:
\[
\begin{cases}
2x + y = 9 \\
x - y = 24
\end{cases}
\]

* Cộng hai phương trình để khử \( y \):
\[
\begin{cases}
2x + y = 9 \\
2x - 2y = 48
\end{cases}
\]

\[
3x = 33
=> x = 11
\]

* Thay \( x = 11 \) vào phương trình thứ hai:
\[
11 - y = 24
=> y = -13
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình với \( m = 1 \) là \( (x, y) = (11, -13) \).

b) Tìm \( m \) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn \( x < 0 \) và \( y < 0 \):

Giải hệ phương trình tổng quát:
\[
\begin{cases}
2x + my = 9 \\
x - y = 24
\end{cases}
\]

* Biểu diễn \( x \) qua \( y \) từ phương trình thứ hai:
\[
x = 24 + y
\]

* Thay \( x \) vào phương trình thứ nhất:
\[
2(24 + y) + my = 9
=> 48 + 2y + my = 9
=> (2 + m)y = 9 - 48
=> (2 + m)y = -39
=> y = \frac{-39}{2 + m}
\]

* Thay \( y \) vào phương trình \( x = 24 + y \):
\[
x = 24 + \frac{-39}{2 + m}
=> x = \frac{24(2 + m) - 39}{2 + m}
=> x = \frac{48 + 24m - 39}{2 + m}
=> x = \frac{9 + 24m}{2 + m}
\]

Để thỏa mãn \( x < 0 \) và \( y < 0 \):
\[
y = \frac{-39}{2 + m} < 0 => 2 + m > 0 => m > -2
\]

\[
x = \frac{9 + 24m}{2 + m} < 0
=> 9 + 24m < 0
=> m < -\frac{3}{8}
\]

Vậy để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn \( x < 0 \) và \( y < 0 \), giá trị của \( m \) phải nằm trong khoảng:
\[
-\frac{3}{8} > m > -2
\]