Để giải hệ phương trình trong bài 16, chúng ta sẽ giải từng phần.

### Phần a:
Cho hệ phương trình với \( a = 1 \):

\[
\begin{cases}
x + y = 2 \\
x - 2y = 1
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

Nhân phương trình thứ hai với 1 và cộng với phương trình thứ nhất:

\[
(x + y) + (x - 2y) = 2 + 1
\]

\[
2x - y = 3 \implies y = 2x - 3 \tag{1}
\]

Thay giá trị của \( y \) vào phương trình thứ nhất:

\[
x + (2x - 3) = 2
\]

\[
3x - 3 = 2 \implies 3x = 5 \implies x = \frac{5}{3}
\]

Thay giá trị \( x = \frac{5}{3} \) vào (1) để tìm \( y \):

\[
y = 2 \left(\frac{5}{3}\right) - 3 = \frac{10}{3} - 3 = \frac{10}{3} - \frac{9}{3} = \frac{1}{3}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = \frac{5}{3}, y = \frac{1}{3} \).

### Phần b:
Tìm các giá trị của \( a \) sao cho hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn \( x > 0 \) và \( y < 0 \):

\[
\begin{cases}
x + ay = 2 \\
ax - 2y = 1
\end{cases}
\]

Sử dụng công thức Cramer để giải hệ phương trình:

\[
D = \begin{vmatrix}
1 & a \\
a & -2
\end{vmatrix} = 1 \times (-2) - a \times a = -2 - a^2
\]

Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

\[
D \neq 0 \implies -2 - a^2 \neq 0 \implies a^2 \neq -2
\]

Điều này đúng với mọi \( a \) vì \( a^2 \geq 0 \) luôn đúng.

Tìm giá trị của \( x \) và \( y \):

\[
D_x = \begin{vmatrix}
2 & a \\
1 & -2
\end{vmatrix} = 2 \times (-2) - a \times 1 = -4 - a
\]

\[
D_y = \begin{vmatrix}
1 & 2 \\
a & 1
\end{vmatrix} = 1 \times 1 - 2 \times a = 1 - 2a
\]

Khi đó:

\[
x = \frac{D_x}{D} = \frac{-4 - a}{-2 - a^2}, \quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{1 - 2a}{-2 - a^2}
\]

Để \(x > 0\) và \(y < 0\):

\[
\frac{-4 - a}{-2 - a^2} > 0 \implies \frac{4 + a}{2 + a^2} > 0
\]

\[
\frac{1 - 2a}{-2 - a^2} < 0 \implies \frac{2a - 1}{2 + a^2} > 0
\]

Xét điều kiện thứ nhất \( \frac{4 + a}{2 + a^2} > 0 \):

Điều này thỏa mãn khi:

- \( 4 + a > 0 \implies a > -4 \)
- \( 2 + a^2 > 0 \), luôn đúng với mọi \( a \).

Xét điều kiện thứ hai \( \frac{2a - 1}{2 + a^2} > 0 \):

Điều này thỏa mãn khi:

- \( 2a - 1 > 0 \implies a > \frac{1}{2} \)
- \( 2 + a^2 > 0 \), luôn đúng với mọi \( a \).

Vậy giá trị của \( a \) mà hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn \( x > 0 \) và \( y < 0 \) là:

\[
a > \frac{1}{2}
\]