Để chứng minh các biểu thức đã cho lớn hơn 0 với mọi \( x \), ta sẽ xem xét các biểu thức dưới các dạng khác nhau để tìm ra lời giải phù hợp.

a) \( x^2 + x + 1 \)

Đặt \( f(x) = x^2 + x + 1 \).

Ta xem xét biểu thức \( x^2 + x + 1 \):

\[
f(x) = x^2 + x + 1
\]

Bây giờ ta sẽ thử tính biệt thức (discriminant) \(\Delta\) của đa thức bậc hai này:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3
\]

Vì \(\Delta < 0\), nên phương trình không có nghiệm thực và đồ thị của hàm số \( y = x^2 + x + 1 \) luôn nằm phía trên trục hoành. Do đó, \( x^2 + x + 1 > 0 \) đối với mọi \( x \).

b) \( 4x^2 - 4x + 9 \)

Đặt \( g(x) = 4x^2 - 4x + 9 \).

Tính biệt thức \(\Delta\) của đa thức bậc hai này:

\[
\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 16 - 144 = -128
\]

Vì \(\Delta < 0\), nên phương trình không có nghiệm thực và đồ thị của hàm số \( y = 4x^2 - 4x + 9 \) luôn nằm phía trên trục hoành. Do đó, \( 4x^2 - 4x + 9 > 0 \) đối với mọi \( x \).

c) \( \frac{1}{4} x^2 - x + 2 \)

Đặt \( h(x) = \frac{1}{4}x^2 - x + 2 \).

Tính biệt thức \(\Delta\) của đa thức bậc hai này:

\[
\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot 2 = 1 - 2 = -1
\]

Vì \(\Delta < 0\), nên phương trình không có nghiệm thực và đồ thị của hàm số \( y = \frac{1}{4}x^2 - x + 2 \) luôn nằm phía trên trục hoành. Do đó, \( \frac{1}{4}x^2 - x + 2 > 0 \) đối với mọi \( x \).

Kết luận, cả ba biểu thức đều lớn hơn 0 với mọi giá trị của \( x \):

a) \( x^2 + x + 1 > 0 \),

b) \( 4x^2 - 4x + 9 > 0 \),

c) \( \frac{1}{4}x^2 - x + 2 > 0 \).