Để giải hệ phương trình này, ta thực hiện các bước như sau:

1. Viết lại hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
2x - y = m - 2 \\
x + y = 3m + 4
\end{cases}
\]

2. Ta cộng hai phương trình lại với nhau để loại bỏ \(y\):
\[
2x - y + x + y = (m - 2) + (3m + 4)
\]
\[
3x = 4m + 2
\]
\[
x = \frac{4m + 2}{3} \quad (1)
\]

3. Thay giá trị của \(x\) vào phương trình thứ hai:
\[
\frac{4m + 2}{3} + y = 3m + 4
\]
\[
y = 3m + 4 - \frac{4m + 2}{3}
\]
\[
y = \frac{9m + 12 - 4m - 2}{3}
\]
\[
y = \frac{5m + 10}{3} \quad (2)
\]

4. Bây giờ ta có nghiệm (a, b) của hệ phương trình tương ứng là:
\[
a = x = \frac{4m + 2}{3}
\]
\[
b = y = \frac{5m + 10}{3}
\]

5. Ta có điều kiện:
\[
a^2 + b^2 = 10
\]
Thay biểu thức của \(a\) và \(b\) vào:
\[
\left(\frac{4m + 2}{3}\right)^2 + \left(\frac{5m + 10}{3}\right)^2 = 10
\]
\[
\frac{(4m + 2)^2}{9} + \frac{(5m + 10)^2}{9} = 10
\]
\[
\frac{(4m + 2)^2 + (5m + 10)^2}{9} = 10
\]
\[
(4m + 2)^2 + (5m + 10)^2 = 90
\]
\[
(16m^2 + 16m + 4) + (25m^2 + 100m + 100) = 90
\]
\[
41m^2 + 116m + 104 = 90
\]
\[
41m^2 + 116m + 14 = 0
\]

6. Giải phương trình bậc hai \(41m^2 + 116m + 14 = 0\) ta dùng công thức nghiệm bậc hai:
\[
m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
\[
a = 41, b = 116, c = 14
\]
\[
m = \frac{-116 \pm \sqrt{116^2 - 4 \cdot 41 \cdot 14}}{2 \cdot 41}
\]
\[
m = \frac{-116 \pm \sqrt{13456 - 2296}}{82}
\]
\[
m = \frac{-116 \pm \sqrt{11160}}{82}
\]
\[
m = \frac{-116 \pm 105.6}{82}
\]
\[
m_1 = \frac{-116 + 105.6}{82} = \frac{-10.4}{82} = -\frac{5}{41}
\]
\[
m_2 = \frac{-116 - 105.6}{82} = \frac{-221.6}{82} = -\frac{1108}{41}
\]

Vậy \( m \) có hai giá trị thỏa mãn là \( m = -\frac{5}{41} \) hoặc \( m = -\frac{1108}{41}\).