Để giải quyết bài toán này, ta cần xem xét lại quá trình nhân và phân tích lỗi mà học sinh đã phạm phải.

Giả sử \( a \) là số mà học sinh cần nhân với 435. Khi nhân \( a \) với 435, ta có ba tích riêng như sau:
- Tích riêng thứ nhất: \( 5a \)
- Tích riêng thứ hai: \( 3a \), đặt lùi sang trái một cột
- Tích riêng thứ ba: \( 4a \), đặt lùi sang trái hai cột.

Học sinh đã sai sót bằng cách đặt tích riêng thứ ba thẳng cột với tích riêng thứ hai. Vậy, tổng của chúng như sau:
\[5a + 3a + 4a = 7875.\]

Như vậy, số \( a \) nhân với 5, cộng với 3 nhân số \( a \), và cộng với 4 nhân số \( a \) đều cộng thẳng cột nhau, cho kết quả là 7875. Chúng ta có phương trình sau:
\[ 12a = 7875 \]
\[ a = \frac{7875}{12} = 656.25. \]

Do \( a \) không chia đều cho 12, có thể có nhầm lẫn trong cách trình bày bài toán ban đầu. Tuy nhiên, thường trong quá trình lỗi sai như thế này phát sinh từ lỗi nhân số nguyên.

Hãy thử lại từ đầu và xem xét cẩn thận hơn tại các bước:
- Tích riêng thứ nhất: \( 5a \)
- Tích riêng thứ hai: \( 3a\cdot 10 \)
- Tích riêng thứ ba: \( 4a \cdot 100 \)

Nếu học sinh sai thứ tự đặt tích riêng, chúng ta giả định rằng \( 4a \) đã được đặt ở vị trí hàng chục thay vì hàng trăm:
\[ 5a + 30a + 40a = 75a.\]

Giải phương trình \( 75a = 7875 \):
\[ a = \frac{7875}{75} \]
\[ a = 105. \]

Vậy, kiểm tra kết quả đúng:
\[ 105 \times 435 = 105 \times (400 + 30 + 5) \]
\[ = 105 \times 400 + 105 \times 30 + 105 \times 5 \]
\[ = 42000 + 3150 + 525 \]
\[ = 45675. \]

Kết quả đúng của phép nhân là \( 45675 \).