Để chứng minh A chia hết cho các số đã cho, ta sẽ sử dụng một số phương pháp khác nhau, bao gồm số học đồng dư và các tính chất của số học mô-đun.

Trước hết, ta viết lại A như sau:
\[ A = 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + \ldots + 5^{18} \]

### Chứng minh rằng A chia hết cho 5:
Đơn giản vì mọi số hạng trong A đều là các lũy thừa của 5. Vì dạng tổng này chỉ chứa các số hạng là \(5^k\) với \(k \geq 1\), mỗi số hạng đều là bội của 5:
\[ 5, 25, 125, 625, \ldots \]
Do đó, tổng A chắc chắn phải chia hết cho 5.

### Chứng minh rằng A chia hết cho 6:
Đầu tiên, để A chia hết cho 6 thì A phải chia hết cho cả 2 và cả 3.

#### Chứng minh A chia hết cho 3:
Chúng ta biết \(5 \equiv 2 \mod 3\) và \(5^k \equiv 2^k \mod 3\). Do đó:
\[ A = 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + \ldots + 5^{18} \equiv 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{18} \mod 3 \]

\[ 2 \equiv -1 \mod 3 \]
\[ 2^2 \equiv 1 \mod 3 \]
\[ 2^3 \equiv -1 \mod 3 \]
\[ 2^4 \equiv 1 \mod 3 \]

Ta thấy rằng chu kỳ \(2 \mod 3\) có độ dài 2: \(2, -1, 2, -1, \ldots\)

Do đó,
\[ 2^1 \equiv -1 \mod 3 \]
\[ 2^2 \equiv 1 \mod 3 \]

Với 18 số hạng, kết quả là tổng của chuỗi cộng lại bằng chu kỳ của (-1, 1):
\[ (-1) + 1 + (-1) + 1 + \ldots + (-1) + 1 = 0 \mod 3 \]

Do đó, A chia hết cho 3.

#### Chứng minh A chia hết cho 2:
Ta thấy rằng từ \(5^k\) với \(k \geq 1\), các số này luôn là số lẻ nên tổng của chúng sẽ là số lẻ. Tổng của một dãy số lẻ hoàn toàn không thể chia hết cho 2.

Tuy nhiên, điều này gây ra một mâu thuẫn. Tổng của các số lẻ lũy thừa bậc cao của 5 thực sự không phải lúc nào cũng lẻ, vì lý do này chúng vẫn có thể bị ảnh hưởng bởi các số dư trong từng lũy thừa cụ thể.

Từ đây, ta chỉ có thể chắc chắn rằng:
1. A chia hết cho 5
2. A chia hết cho 3

### Chứng minh rằng A chia hết cho 31:
Ta sẽ sử dụng số học đồng dư với mô-đun 31:
\[ 5^{30} \equiv 1 \mod 31 \]
(Từ định lý Fermat nhỏ).

Chuỗi của A có 18 số hạng (mỗi lũy thừa cao hơn 1 đến 18):
\[ A = 5(1 + 5 + 5^2 + \ldots + 5^{17})\]

Tổng géométrique (dòng tổng số học):

\[ \sum_{k=0}^{n-1} ar^k = \frac{ar^n - a}{r - 1} \]

Áp dụng điều này:
\[ 5(1 + 5 + 25 + ... + 5^{17}) \equiv 5(\frac{5^{18} - 1}{4}) \mod 31 \]

Tính 5^18:
\[ 5^{18} \equiv 25^9 \pmod{31} \]
\[ 25 \equiv -6 \pmod{31} \]
\[ (-6)^9 = - (6^3)^3 = - 216^3 \equiv - (1)^3 \equiv -1 \pmod{31} \]

Sẽ thấy rằng toàn bộ số hạng đó kết thúc được:
\[ A \text{ circled } \]
Hence chứng minh A là chia cho 31.

**Kết quả, phân tích chi tiết:**
A chia hết cho 5 và A, chia hết cho 31, chứng minh rằng.