Cho đa thức P(x) thỏa mãn P(1) = -1, P(2) = 1. Tìm đa thức dư trong phép chia đa thức P(x) cho đa thức (x - 1)(x - 2)

Khi chia đa thức \(P(x)\) cho \(Q(x) = (x - 1)(x - 2)\), ta có thể biểu diễn kết quả dưới dạng:

\[P(x) = (x - 1)(x - 2)Q(x) + R(x)\]

Trong đó, \(R(x)\) là đa thức dư và có bậc nhỏ hơn bậc của \((x - 1)(x - 2)\), tức là \(R(x)\) có bậc nhỏ hơn 2. Do đó, \(R(x)\) sẽ có dạng:

\[R(x) = ax + b\]

Ta có:

\[P(1) = (1 - 1)(1 - 2)Q(1) + a(1) + b = a + b\]
\[P(2) = (2 - 1)(2 - 2)Q(2) + a(2) + b = 2a + b\]

Biết rằng \(P(1) = -1\) và \(P(2) = 1\), ta có hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
a + b = -1 \\
2a + b = 1
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này bằng phương pháp trừ, ta có:

\[
(2a + b) - (a + b) = 1 - (-1) \\
a = 2
\]

Thay \(a = 2\) vào phương trình \(a + b = -1\):

\[
2 + b = -1 \\
b = -3
\]

Vậy đa thức dư \(R(x)\) là:

\[R(x) = 2x - 3\]