Để rút gọn biểu thức và tìm giá trị của x nguyên, chúng ta cần thực hiện các bước khác nhau.

**Bước 1: Rút gọn biểu thức A**

A = \(\left(\frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{x - 1}\right) : \left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - 1\right)\)

Trước tiên, chúng ta sẽ đơn giản hoá từng phần của biểu thức.

1. \(\frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{x - 1}\)

Chuẩn hoá mẫu của phân số thứ hai:

\(\frac{\sqrt{x}}{x - 1} = \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 1}\)

Do đó:

\(\frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{x - 1} = \frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{1}{\sqrt{x} + 1}\)

2. \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - 1\)

Chúng ta kiểm tra biểu thức này:

\(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - 1 = \frac{\sqrt{x} - (\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} - 1} = \frac{1}{\sqrt{x} - 1}\)

Bây giờ, gộp lại:

\[
A = \frac{\frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{1}{\sqrt{x} + 1}}{\frac{1}{\sqrt{x} - 1}}
\]

Hợp nhất các số hạng ở tử số của biểu thức phân số đầu tiên:

\[
\frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x} + 1 + \sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{2\sqrt{x}}{x - 1}
\]

Do đó, A rút gọn như sau:

\[
A = \frac{\frac{2\sqrt{x}}{x - 1}}{\frac{1}{\sqrt{x} - 1}} = 2
\]

**Bước 2: Tìm các giá trị nguyên của x**

Ta có M = A \(\cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x} + 1} + \frac{x - \sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 3}\)

Thay A = 2:

\[
M = 2 \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x} + 1} + \frac{x - \sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 3}
\]

Giờ, tìm giá trị của x để giá trị biểu thức M là nguyên:

Gọi \(\sqrt{x} = t\) với \(t\) là số nguyên dương.

\[
M = 2 \cdot \frac{t + 1}{2t + 1} + \frac{t^2 - t - 5}{t + 3}
\]

Ta cần tìm t sao cho biểu thức này là số nguyên.

Đầu tiên, ta phân tích điều kiện cho từng phân số:

1. \(\frac{t + 1}{2t + 1}\) là đơn vị phân số và muốn cho kết quả dạng integer thì \(2t + 1 \mid 1 + k(2t + 1)\)
2. Tương tự, phân tích \(t^2 – t - 5\) với \(\frac{t^2 - t - 5}{t + 3}\)

Xét điều kiện trên:

Nếu t = 1

\[
M = 2 \cdot \frac{1 + 1}{2 + 1} + \frac{1^2 - 1 - 5}{1 + 3} = 1 + \frac{-5}{4} = \frac{-1}{4} \text { không nguyên}
\]

Nếu t = 2

\(M = 2 = integer\)

Vậy, kiểm tra sâu giá trị tại \(x = 4\).

Kết luận giá trị duy nhất thỏa mãn \( x = 4 \).