Chúng ta sẽ chứng minh từng bước một cho bài toán này.

### a) Chứng minh \( AD = 2AB \)

Giả sử điểm \( M \) là trung điểm của \( BC \) và đường phân giác của góc \( \angle BAD \) cắt \( BC \) tại \( M \).

Trong hình bình hành, các cạnh đối diện song song và bằng nhau:
\[ AB = CD \]
\[ AD = BC \]

Do \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên:
\[ BM = MC \]

Xét tam giác \( \triangle ABD \):
- \( \angle BAM = \angle MAD \) (vì \( AM \) là đường phân giác của \( \angle BAD \))
- \( BM = MC \) (kẻ từ giả thiết \( M \) là trung điểm của \( BC \))

Tức là tam giác \( \triangle ABD \) có:
\[ AB = 2BM \]
\[ AD = 2BM = 2AB \]

Từ đó, ta có:
\[ AD = 2AB \]

### b) Gọi \( N \) là trung điểm của \( AD \). Chứng minh tứ giác \( ABMN \) là hình thoi.

Vì \( N \) là trung điểm của \( AD \), nên \( AN = ND \).

Do \( M \) là trung điểm của \( BC \), và xét trong hình bình hành \( ABCD \), ta có các cạnh đối diện đều bằng nhau:
\[ AB = CD \]

Vậy ta có:
- \( AB = AB \)
- \( AN = ND \)
- \( BM = MC \)

Xét điểm \( B, N, M \) các cạnh đối diện của hình tứ giác \( ABMN \) bằng nhau. Do đó:
\[ AB = MN \]
\[ AN = BM \]

Mỗi cạnh của tứ giác \( ABMN \) có cùng độ dài, vì vậy tứ giác \( ABMN \) là hình thoi.

### c) Gọi \( O \) là giao điểm của \( AC \) và \( BD \). Chứng minh \( M, O, N \) thẳng hàng và \( AM \) vuông góc với \( MD \).

Do \( ABCD \) là hình bình hành nên hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) cắt nhau tại trung điểm của chúng:
\[ O \] là trung điểm của cả hai đường chéo \( AC \) và \( BD \).

Ta đã biết:
- \( M \) là trung điểm của \( BC \)
- \( N \) là trung điểm của \( AD \)

Ta cần chứng minh \( M, O, N \) thẳng hàng. Từ điểm \( O \), drawing a line perpendicular to \( AD \) sẽ cắt AD ở N:

Xét tam giác \( ABD \):
- \( M \) là trung điểm của \( BC \)
- \( N \) là trung điểm của \( AD \)
- \( O \) là trung điểm của \( AC \)

Vậy ta có \( M, O, N \) thẳng hàng.

Tiếp đó, xét đường \( AM \) và \( MD \):
- Vì \( ABCD \) là hình bình hành, nên:
\[ AD \parallel BC \]
và \( AM \perp MD \) tại \( M \).

Do đó, \( AM \) vuông góc với \( MD \).

Trên đây là toàn bộ lời giải cho bài toán trên.