Để phân tích biểu thức \( x^3 + 2x^2 + 2x + 1 \) thành nhân tử, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử và tìm nhân tử chung.

Biểu thức ban đầu là:
\[ x^3 + 2x^2 + 2x + 1 \]

Bước 1: Nhóm các hạng tử thành từng cặp.
\[ (x^3 + 2x^2) + (2x + 1) \]

Bước 2: Rút nhân tử chung ra khỏi mỗi cặp.
- Nhóm thứ nhất: từ \( x^3 + 2x^2 \), ta có thể rút \( x^2 \) ra ngoài:
\[ x^2(x + 2) \]

- Nhóm thứ hai: từ \( 2x + 1 \), biểu thức này dường như không có nhân tử chung. Tuy nhiên, chúng ta có thể thử biến đổi bằng cách thêm vào và bớt đi giá trị để tạo ra nhân tử chung, nhưng ở đây không khả thi, vậy phần này giữ nguyên.

Vậy sau bước này, chúng ta được:
\[ x^2(x + 2) + (2x + 1) \]

Bước 3: Kiểm tra nhân tử chung tiếp theo hoặc các phương pháp khác.

Nhưng ở đây, cách nhóm này không đơn giản hóa được nhiều. Do đó, chúng ta sẽ thử sử dụng phương pháp khác, đó là thử tìm nghiệm của phương trình.

Để tìm nghiệm của phương trình \( x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = 0 \), thử các giá trị như \( x = -1, 0, 1 \).
- Khi thử \( x = -1 \):
\[ (-1)^3 + 2(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -1 + 2 - 2 + 1 = 0 \]

Vậy \( x = -1 \) là một nghiệm của phương trình. Do đó, \( x + 1 \) là một nhân tử của \( x^3 + 2x^2 + 2x + 1 \).

Bước 4: Chia \( x^3 + 2x^2 + 2x + 1 \) cho \( x + 1 \) để tìm các nhân tử còn lại. Chia đa thức:

Dùng phép chia đa thức:
1. \( x^3 + 2x^2 + 2x + 1 \) chia cho \( x + 1 \)

Bắt đầu chia:
\[ x^3 + 2x^2 + 2x + 1 \quad \div \quad x + 1 \]

- Lấy \( x^3 \div x = x^2 \)
- Nhân \( x^2 \) với \( x + 1 \): \( x^2(x + 1) = x^3 + x^2 \)
- Lấy \( x^3 + 2x^2 + 2x + 1 \) trừ cho \( x^3 + x^2 \) còn \( x^2 + 2x + 1 \)

Tiếp tục:
- Lấy \( x^2 \div x = x \)
- Nhân \( x \) với \( x + 1 \): \( x(x + 1) = x^2 + x \)
- Trừ \( x^2 + 2x + 1 \) trừ cho \( x^2 + x \) còn \( x + 1 \)

Cuối cùng:
- Lấy \( x \div x = 1 \)
- Nhân \( 1 \) với \( x + 1 \): \( 1(x + 1) = x + 1 \)
- Trừ \( x + 1 \) trừ cho \( x + 1 \) còn dư 0.

Vậy kết quả chia là \( x^2 + x + 1 \), không dư, nên:
\[ x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = (x + 1)(x^2 + x + 1) \]

Do đó, \( x^3 + 2x^2 + 2x + 1 \) được phân tích thành:
\[ x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = (x + 1)(x^2 + x + 1) \]