### Phần a) Chứng minh các hình thang cân

- Tam giác ABC đều và M là điểm nằm bên trong tam giác ABC.
- Qua M kẻ đường thẳng song song với AC, nó cắt AB tại F và cắt BC tại E.
- Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại E và cắt AC tại F.
- Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại D.

#### Xét hình thang AFMD:

- Do MD // AC và AF // BC (do cả hai cặp đường thẳng này là các cặp cạnh song song của một hình bình hành).
- Từ đó, hình thang AFMD có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
- Một hình thang có cặp cạnh đáy song song và bằng nhau, do đó AFMD là hình thang cân.

#### Xét hình thang BDME:

- Do ME // AB và BD // AC (do cả hai cặp đường thẳng này là các cặp cạnh song song của một hình bình hành).
- Từ đó, hình thang BDME cũng có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
- Do đó BDME là hình thang cân.

#### Xét hình thang CEMF:

- Do MF // AC và CE // AB (do cả hai cặp đường thẳng này là các cặp cạnh song song của một hình bình hành).
- Từ đó, hình thang CEMF có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
- Do đó CEMF là hình thang cân.

### Phần b) Chứng minh góc DME = FME = DMF

- Do các hình thang AFMD, BDME và CEMF đều cân, các góc tạo thành tại điểm M, bao gồm các góc DME, FME và DMF, đều có độ lớn bằng nhau.
- Do đó, ta có DME = FME = DMF.

### Phần c) Điều kiện để tam giác DEF đều

- Để tam giác DEF đều, điểm M phải là trọng tâm của tam giác ABC.
- Khi M là trọng tâm của tam giác ABC, DEF sẽ là tam giác đều vì M phân chia các cạnh tam giác ABC thành các đoạn bằng nhau và thỏa mãn điều kiện của tam giác đồng dạng và đều.

#### Tính chu vi của tam giác DEF theo chiều cao AH của tam giác ABC:

- Gọi AH là chiều cao của tam giác đều ABC, ta có:
\[ AH = \frac{a \sqrt{3}}{2} \]

- Do DEF đều, khi đó chu vi tam giác DEF bằng 3 lần cạnh của nó.

- Cạnh của DEF (dấu hiệu các đoạn phân chia từ trọng tâm M) bằng chiều cao của tam giác ABC (một phần của tam giác đều):
\[ \text{Chu vi tam giác } DEF = 3 \left(\frac{a \sqrt{3}}{3}\right) = a \]

### Kết luận:

- Điều kiện để tam giác DEF là đều là điểm M phải là trọng tâm của tam giác ABC.
- Khi đó chu vi tam giác DEF bằng cạnh của tam giác ABC.