### Phần a) Chứng minh các hình thang cân
- Tam giác ABC đều và M là điểm nằm bên trong tam giác ABC.
- Qua M kẻ đường thẳng song song với AC, nó cắt AB tại F và cắt BC tại E.
- Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại E và cắt AC tại F.
- Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại D.
#### Xét hình thang AFMD:
- Do MD // AC và AF // BC (do cả hai cặp đường thẳng này là các cặp cạnh song song của một hình bình hành).
- Từ đó, hình thang AFMD có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
- Một hình thang có cặp cạnh đáy song song và bằng nhau, do đó AFMD là hình thang cân.
#### Xét hình thang BDME:
- Do ME // AB và BD // AC (do cả hai cặp đường thẳng này là các cặp cạnh song song của một hình bình hành).
- Từ đó, hình thang BDME cũng có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
- Do đó BDME là hình thang cân.
#### Xét hình thang CEMF:
- Do MF // AC và CE // AB (do cả hai cặp đường thẳng này là các cặp cạnh song song của một hình bình hành).
- Từ đó, hình thang CEMF có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
- Do đó CEMF là hình thang cân.
### Phần b) Chứng minh góc DME = FME = DMF
- Do các hình thang AFMD, BDME và CEMF đều cân, các góc tạo thành tại điểm M, bao gồm các góc DME, FME và DMF, đều có độ lớn bằng nhau.
- Do đó, ta có DME = FME = DMF.
### Phần c) Điều kiện để tam giác DEF đều
- Để tam giác DEF đều, điểm M phải là trọng tâm của tam giác ABC.
- Khi M là trọng tâm của tam giác ABC, DEF sẽ là tam giác đều vì M phân chia các cạnh tam giác ABC thành các đoạn bằng nhau và thỏa mãn điều kiện của tam giác đồng dạng và đều.
#### Tính chu vi của tam giác DEF theo chiều cao AH của tam giác ABC:
- Gọi AH là chiều cao của tam giác đều ABC, ta có:
AH=a√32
- Do DEF đều, khi đó chu vi tam giác DEF bằng 3 lần cạnh của nó.
- Cạnh của DEF (dấu hiệu các đoạn phân chia từ trọng tâm M) bằng chiều cao của tam giác ABC (một phần của tam giác đều):
Chu vi tam giác DEF=3(a√33)=a
### Kết luận:
- Điều kiện để tam giác DEF là đều là điểm M phải là trọng tâm của tam giác ABC.
- Khi đó chu vi tam giác DEF bằng cạnh của tam giác ABC.