Để chứng minh giá trị của các biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến \( x \), ta sẽ tiến hành đơn giản hóa các biểu thức đó.

a) Biểu thức \( P \):

\[ P = x(3x + 2) - x(x^2 + 3x) + x^3 - 2x + 3 \]

Ta sẽ phân tích từng phần:

\[ x(3x + 2) = 3x^2 + 2x \]
\[ -x(x^2 + 3x) = -x^3 - 3x^2 \]

Biểu thức \( P \) trở thành:

\[ P = (3x^2 + 2x) - (x^3 + 3x^2) + x^3 - 2x + 3 \]

Gộp các hạng tử giống nhau:

\[ P = 3x^2 + 2x - x^3 - 3x^2 + x^3 - 2x + 3 \]

Các hạng tử \( x^3 \) và \( 3x^2 \) sẽ triệt tiêu nhau:

\[ P = (3x^2 - 3x^2) + (2x - 2x) + (x^3 - x^3) + 3 = 3 \]

Vậy biểu thức \( P \) có giá trị bằng \( 3 \) không phụ thuộc vào giá trị của \( x \).

b) Biểu thức \( Q \):

\[ Q = x(2x - 3) + 6x \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) x + 1 \]

Ta sẽ phân tích từng phần:

\[ x(2x - 3) = 2x^2 - 3x \]
\[ 6x \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) x = 6x \left( \frac{3}{6} - \frac{2}{6} \right) x = 6x \left( \frac{1}{6} \right) x = x^2 \]

Biểu thức \( Q \) trở thành:

\[ Q = 2x^2 - 3x + x^2 + 1 \]

Gộp các hạng tử giống nhau:

\[ Q = (2x^2 + x^2) - 3x + 1 \]
\[ Q = 3x^2 - 3x + 1 \]

Biểu thức này không thể được giản lược thêm nữa vì nó vẫn phụ thuộc vào \( x \).

Vậy trong phần b), ta đã chứng minh rằng biểu thức \( Q \) **phụ thuộc** vào giá trị của biến \( x \).