Để chứng minh biểu thức \(Q\) luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên \(n\), ta thực hiện như sau:

Biểu thức \(Q\) được cho là:
\[ Q = (2n - 1)(2n + 3) - (4n - 5)(n + 1) + 3 \]

Chúng ta sẽ phân tích từng phần của biểu thức này:

1. Tính tích \((2n - 1)(2n + 3)\):
\[ (2n - 1)(2n + 3) = 2n \cdot 2n + 2n \cdot 3 - 1 \cdot 2n - 1 \cdot 3 \]
\[ = 4n^2 + 6n - 2n - 3 \]
\[ = 4n^2 + 4n - 3 \]

2. Tính tích \((4n - 5)(n + 1)\):
\[ (4n - 5)(n + 1) = 4n \cdot n + 4n \cdot 1 - 5 \cdot n - 5 \cdot 1 \]
\[ = 4n^2 + 4n - 5n - 5 \]
\[ = 4n^2 - n - 5 \]

3. Trừ hai kết quả vừa tính và thêm 3:
\[ Q = (4n^2 + 4n - 3) - (4n^2 - n - 5) + 3 \]
\[ = 4n^2 + 4n - 3 - 4n^2 + n + 5 + 3 \]
\[ = 4n + n - 3 + 5 + 3 \]
\[ = 5n + 5 \]

4. Ta thấy \(Q\) là:
\[ Q = 5(n + 1) \]

Vì \(5(n + 1)\) luôn là bội của 5, nên \(Q\) luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên \(n\).

Do đó, ta đã chứng minh rằng biểu thức \(Q\) luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên \(n\).