Cho tam giác \(ABC\) với \( \angle C = 60^\circ \), \( \angle B = 45^\circ \), và \( BC = 3 + \sqrt{3} \text{ cm} \). Để tính đường cao \( AH \) từ đỉnh \(A\) xuống cạnh \(BC\), ta tiến hành như sau:

1. **Tính các góc trong tam giác:**
\[
\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ
\]

2. **Dựng tam giác vuông tại \(H\):**
- Kẻ \(AH \perp BC \) tại \( H \).

3. **Sử dụng định lý Sin trong tam giác \(ABC\):**
\[
\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}
\]

Ta có:
\[
\sin A = \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
\]

4. **Đường cao từ đỉnh \(A\):**
\[
AH = BC \cdot \sin A = (3 + \sqrt{3}) \cdot \sin 75^\circ
\]

Thay giá trị của \(\sin 75^\circ\) vào:
\[
AH = (3 + \sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
\]

5. **Tính giá trị của \(AH\):**
\[
AH = \frac{(3 + \sqrt{3})(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}
\]
Tính chi tiết:
\[
AH = \frac{3\sqrt{6} + 3\sqrt{2} + \sqrt{3}\sqrt{6} + \sqrt{3}\sqrt{2}}{4}
\]
\[
AH = \frac{3\sqrt{6} + 3\sqrt{2} + \sqrt{18} + \sqrt{6}}{4}
\]
\[
AH = \frac{3\sqrt{6} + 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}
\]
\[
AH = \frac{(3 + 1)\sqrt{6} + 6\sqrt{2}}{4}
\]
\[
AH = \frac{4\sqrt{6} + 6\sqrt{2}}{4}
\]
\[
AH = \sqrt{6} + \frac{3\sqrt{2}}{2}
\]

Vậy, đường cao \( AH \) từ đỉnh \( A \) xuống cạnh \( BC \) là \( \boxed{\sqrt{6} + \frac{3\sqrt{2}}{2} \text{ cm}} \).