Để tìm số dư khi chia số \( A = 2006^{2024} \) cho các số: 3, 5, 7, 9 và 223, chúng ta sẽ sử dụng một vài tính chất của số học đồng dư và các định lý toán học kinh điển như định lý Fermat nhỏ và định lý Euler.

### Chia cho 3
Số dư của 2006 khi chia cho 3 là:
\[ 2006 \div 3 = 668 \text{ dư } 2 \]
Nên:
\[ 2006 \equiv 2 \pmod{3} \]
Ta có:
\[ 2006^{2024} \equiv 2^{2024} \pmod{3} \]
Áp dụng định lý Fermat nhỏ (với \(a = 2\) và \(p = 3\)):
\[ 2^{2} \equiv 1 \pmod{3} \]
Nên:
\[ 2^{2024} = (2^{2})^{1012} \equiv 1^{1012} \equiv 1 \pmod{3} \]
Vậy:
\[ 2006^{2024} \equiv 1 \pmod{3} \]

### Chia cho 5
Số dư của 2006 khi chia cho 5 là:
\[ 2006 \div 5 = 401 \text{ dư } 1 \]
Nên:
\[ 2006 \equiv 1 \pmod{5} \]
Vậy:
\[ 2006^{2024} \equiv 1^{2024} \equiv 1 \pmod{5} \]

### Chia cho 7
Số dư của 2006 khi chia cho 7 là:
\[ 2006 \div 7 = 286 \text{ dư } 4 \]
Nên:
\[ 2006 \equiv 4 \pmod{7} \]
Ta có:
\[ 2006^{2024} \equiv 4^{2024} \pmod{7} \]
Áp dụng định lý Fermat nhỏ:
\[ 4^{6} \equiv 1 \pmod{7} \]
Nên:
\[ 4^{2024} = 4^{6 \cdot 337 + 2} = (4^{6})^{337} \cdot 4^{2} \equiv 1^{337} \cdot 16 \equiv 16 \pmod{7} \]
Mà:
\[ 16 \div 7 = 2 \text{ dư } 2 \]
Vậy:
\[ 4^{2024} \equiv 2 \pmod{7} \]
Nên:
\[ 2006^{2024} \equiv 2 \pmod{7} \]

### Chia cho 9
Số dư của 2006 khi chia cho 9 là:
\[ 2006 \div 9 = 222 \text{ dư } 8 \]
Nên:
\[ 2006 \equiv 8 \pmod{9} \]
Ta có:
\[ 2006^{2024} \equiv 8^{2024} \pmod{9} \]
\[ 8 \equiv -1 \pmod{9} \]
Nên:
\[ 8^{2024} \equiv (-1)^{2024} \equiv 1 \pmod{9} \]
Vậy:
\[ 2006^{2024} \equiv 1 \pmod{9} \]

### Chia cho 223
Số dư của 2006 khi chia cho 223 là:
\[ 2006 \div 223 = 9 \text{ dư } 5 \]
Nên:
\[ 2006 \equiv 5 \pmod{223} \]
Ta có:
\[ 2006^{2024} \equiv 5^{2024} \pmod{223} \]
Áp dụng định lý Fermat nhỏ:
\[ 5^{222} \equiv 1 \pmod{223} \]
\[ 2024 = 9 \cdot 222 + 2 \]
Nên:
\[ 5^{2024} = 5^{9 \cdot 222 + 2} = (5^{222})^9 \cdot 5^2 \equiv 1^9 \cdot 25 \equiv 25 \pmod{223} \]
Vậy:
\[ 2006^{2024} \equiv 25 \pmod{223} \]

Tóm lại, số dư khi chia \( 2006^{2024} \) cho:
- 3 là \( 1 \)
- 5 là \( 1 \)
- 7 là \( 2 \)
- 9 là \( 1 \)
- 223 là \( 25 \)