Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BA = BE. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt cạnh AC tại D

### Bài 1:

**Cho tam giác ABC vuông tại A, với \(AB < AC\). Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho \(BA = BE\). Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt cạnh AC tại D.**

#### a) Chứng minh tam giác \(ADB\) đồng dạng tam giác \(EDB\)

*Gợi ý chứng minh*:
1. \(BA = BE\) (theo giả thiết).
2. Góc \(ADB\) và góc \(EDB\) là góc đối đỉnh.
3. Sử dụng suy luận về tam giác vuông.

#### b) So sánh \(AD\) và \(DC\)
*Suy luận*:
1. Sử dụng tính chất của tam giác vuông và các đoạn thẳng vuông góc được kẻ từ một điểm đến cạnh đối diện.
2. Xét các đoạn thẳng trên cùng một cạnh và sử dụng bất đẳng thức tam giác.

#### c) Kéo dài \(ED\) cắt tia \(BA\) tại F. Gọi \(I\) là trung điểm của \(CF\). Chứng minh ba điểm \(B\), \(D\), \(I\) thẳng hàng.
1. Cần tính toán tọa độ của các điểm và sử dụng tính chất trung điểm.
2. Sử dụng các hệ thức trong tam giác và chứng minh điểm thẳng hàng bằng cách sử dụng định lý Menelaus hoặc định lý đồng quy.

---

### Bài 2:

**Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm BC**

#### a) Chứng minh tam giác \(AMB\) đồng dạng tam giác \(AMC\)
1. Sử dụng định nghĩa tam giác cân.
2. Xét hai tam giác con và sử dụng định nghĩa trung điểm để chứng minh sự đồng dạng.

#### b) Chứng minh \(AM\) vuông góc \(BC\)
1. Sử dụng định nghĩa tam giác cân.
2. Sử dụng tính chất của trung tuyến trong tam giác cân.

#### c) Kẻ \(BE\) vuông góc \(AC\), trên tia đối của \(EB\) lấy điểm \(K\) sao cho \(EB = EK\). Tìm điểm cách đều 3 đỉnh của tam giác.
1. Sử dụng tính chất của đường trung trực.
2. Xác định trực tiếp tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác cân.

---

### Bài 3:

**Cho tam giác ABC vuông tại A với \(AB < AC\). Kẻ đường phân giác \(BD\) của góc \(ABC\), \(D\) thuộc \(AC\). Kẻ \(DM\) vuông góc \(BC\) tại \(M\)**

#### a) Chứng minh tam giác \(DAB\) đồng dạng tam giác \(DMB\)
1. Sử dụng định lý phân giác trong tam giác vuông.
2. Xét góc và các đoạn thẳng vuông góc.

#### b) Chứng minh \(AD < DC\)
1. Sử dụng tính chất của tam giác vuông và bất đẳng thức tam giác.

#### c) Từ \(M\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AM\) cắt \(AC\) tại \(E\). Gọi \(K\) là trung điểm của \(ME\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(BM\) và \(AM\). Chứng minh ba đường thẳng \(AK\), \(EI\), \(MD\) đồng quy.
1. Xét tính chất đối xứng và tính chất trung điểm.
2. Sử dụng định lý đồng quy của ba đường trong tam giác (lý thuyết điểm Miquel).

---