Để giải phương trình \(\sqrt[3]{4x+4} = \sqrt{3x+1}\), ta thực hiện các bước sau:

1. Lập phương hai vế để loại bỏ căn bậc 3:

\((\sqrt[3]{4x+4})^3 = (\sqrt{3x+1})^3\)

2. Ta được:

\(4x + 4 = (3x + 1)^{3/2}\)

3. Để đơn giản, ta đặt \(t = \sqrt{3x + 1}\), suy ra \(t^2 = 3x + 1\).

4. Thay vào phương trình:

\(4x + 4 = t^3\)

5. Từ \(t^2 = 3x + 1\) suy ra \(x = \frac{t^2 - 1}{3}\).

6. Thay \(x = \frac{t^2 - 1}{3}\) vào phương trình \(4x + 4 = t^3\):

\(4 \left(\frac{t^2 - 1}{3}\right) + 4 = t^3\)

7. Đơn giản hóa:

\(\frac{4(t^2 - 1)}{3} + 4 = t^3\)

8. Quy đồng mẫu số và sắp xếp lại:

\(\frac{4t^2 - 4 + 12}{3} = t^3\)

\(\frac{4t^2 + 8}{3} = t^3\)

9. Nhân cả hai vế với 3:

\(4t^2 + 8 = 3t^3\)

10. Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế:

\(3t^3 - 4t^2 - 8 = 0\)

11. Sử dụng phương pháp thử nghiệm hoặc phương pháp giải phương trình bậc ba, ta tìm được nghiệm \(t = 2\) (vì \(t = 2\) thỏa mãn phương trình bậc ba).

12. Thay \(t = 2\) vào \(t = \sqrt{3x + 1}\):

\(\sqrt{3x + 1} = 2\)

13. Bình phương hai vế của phương trình để loại căn:

\(3x + 1 = 4\)

14. Giải \(x\):

\(3x = 3\)

\(x = 1\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1\).