Chúng ta cần chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào \( y \):

\[ f(y) = (2y-1)^3 - 2y(2y+3)^2 - 6y(2y-2) \]

Đầu tiên, chúng ta sẽ khai triển các biểu thức trong hàm \( f(y) \):

Khai triển \((2y-1)^3\):

\[ (2y-1)^3 = (2y-1)(2y-1)(2y-1) \]
\[ = (2y-1)(4y^2 - 4y + 1) \]
\[ = 8y^3 - 12y^2 + 6y - 1 \]

Khai triển \(2y(2y+3)^2\):

\[ (2y+3)^2 = 4y^2 + 12y + 9 \]
\[ 2y(2y+3)^2 = 2y(4y^2 + 12y + 9) \]
\[ = 8y^3 + 24y^2 + 18y \]

Khai triển \(6y(2y-2)\):

\[ 6y(2y-2) = 12y^2 - 12y \]

Bây giờ, thay các khai triển này vào biểu thức \( f(y) \):

\[
f(y) = (2y-1)^3 - 2y(2y+3)^2 - 6y(2y-2)
\]

\[
= (8y^3 - 12y^2 + 6y - 1) - (8y^3 + 24y^2 + 18y) - (12y^2 - 12y)
\]

Kết hợp các hạng tử với nhau:

\[
= 8y^3 - 12y^2 + 6y - 1 - 8y^3 - 24y^2 - 18y - 12y^2 + 12y
\]

Chúng ta sẽ nhóm các hạng tử cùng bậc lại:

\[ 8y^3 - 8y^3 - 12y^2 - 24y^2 - 12y^2 + 6y - 18y + 12y - 1 \]

Bây giờ, cộng các hạng tử tương ứng:

\[ = 0y^3 - 48y^2 + 0y - 1 \]

Kết quả :

\[ = -48y^2 - 1 \]

Khi quan sát kết quả này, chúng ta thấy rằng biểu thức đã rút gọn chính xác là một hằng số:

\[
f(y) = -1
\]

Vì vậy, biểu thức không phụ thuộc vào \( y \).