Để chứng minh điều này, giả sử \( x \) là một số hữu tỉ thỏa mãn \( x^2 + 3x \) là số nguyên. Ta cần chứng minh rằng \( x \) phải là một số nguyên.

Giả sử \( x = \frac{a}{b} \) với \( a \) và \( b \) là các số nguyên, và \( b \neq 0 \).

Khi đó:

\[ x^2 + 3x = \left(\frac{a}{b}\right)^2 + 3\left(\frac{a}{b}\right) \]

\[ x^2 + 3x = \frac{a^2}{b^2} + \frac{3a}{b} \]

\[ x^2 + 3x = \frac{a^2 + 3ab}{b^2} \]

Do \( x^2 + 3x \) là một số nguyên, ta có:

\[ \frac{a^2 + 3ab}{b^2} \in \mathbb{Z} \]

Điều này có nghĩa là \( b^2 \) phải chia hết cho \( a^2 + 3ab \).

Vì vậy, \( a^2 + 3ab = kb^2 \) với \( k \) là một số nguyên.

Điều này chuyển thành:

\[ a^2 + 3ab = kb^2 \]

Ta viết lại như sau:

\[ a^2 + 3ab - kb^2 = 0 \]

Đây là một phương trình bậc hai trong \( a \). Để \( a \) là số nguyên, phương trình này phải có nghiệm nguyên \( a \).

Xét phương trình bậc hai \( a^2 + 3ab - kb^2 = 0 \):

Áp dụng định lý nghiệm hữu tỉ (Rational Root Theorem) cho phương trình này, nghiệm hữu tỉ của nó phải có dạng \( \frac{p}{q} \), với \( p \) là ước của hệ số tự do (ở đây là 0) và \( q \) là ước của hệ số cao nhất của \( a^2 \) (ở đây là 1).

Vì \( a \) là nghiệm của phương trình, nghiệm sẽ chỉ có thể là các ước của tử số (ở đây là số nguyên). Điều đó có nghĩa là \( a \) phải là một số nguyên.

Do \( b \neq 0 \) và \( b \) không thể chia hết (chia đều) cho \( a \) trừ khi cả \( b \) cũng phải là một số nguyên.

Vậy, nếu \( x \) là số hữu tỉ, phân số \( \frac{a}{b} \) phải rút gon với \( gcd(a, b) = 1 \) thì:

Bởi vì \( b^2 \) phải chia hết cho cả \( a^2 + 3ab \), nên \( b\neq 0 \),

Nên, \( a \) là số nguyên và \( \frac{a}{b}, x \geq 0

\rightarrow x là giá trị xắc định hoàn toàn là số nguyên.

Vì vậy, kết luận cuối cùng là \( x \) là một số nguyên.