Giải phương trình: x/x - 1 + 4/x + 1 = x^2 - 5/x^2 - 1

Để giải phương trình \(\frac{x}{x-1} + \frac{4}{x+1} = \frac{x^2 - 5}{x^2 - 1}\), trước hết ta phân tích vế phải của phương trình:

\[ x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \]

Do đó, phương trình trở thành:

\[ \frac{x}{x-1} + \frac{4}{x+1} = \frac{x^2 - 5}{(x-1)(x+1)} \]

Bây giờ, ta sẽ quy đồng mẫu thức của vế trái để nó cũng có mẫu thức là \((x-1)(x+1)\):

\[ \frac{x(x+1) + 4(x-1)}{(x-1)(x+1)} \]

Tính tử thức:

\[ x(x+1) + 4(x-1) = x^2 + x + 4x - 4 = x^2 + 5x - 4 \]

Như vậy, phương trình ban đầu trở thành:

\[ \frac{x^2 + 5x - 4}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2 - 5}{(x-1)(x+1)} \]

Để hai phân số bằng nhau, tử thức của chúng phải bằng nhau. Do đó ta có:

\[ x^2 + 5x - 4 = x^2 - 5 \]

Trừ \(x^2\) từ cả hai vế:

\[ 5x - 4 = -5 \]

Giải phương trình bậc nhất:

\[ 5x - 4 = -5 \]
\[ 5x = -5 + 4 \]
\[ 5x = -1 \]
\[ x = -\frac{1}{5} \]

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = -\frac{1}{5}\).

Tuy nhiên, chúng ta phải kiểm tra xem \(x = -\frac{1}{5}\) có thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình không. Kiểm tra lại:

- \(x \neq 1\), \(-\frac{1}{5} \neq 1\), đúng.
- \(x \neq -1\), \(-\frac{1}{5} \neq -1\), đúng.

Vì vậy, nghiệm duy nhất của phương trình là \(x = -\frac{1}{5}\).