Để chứng minh các kết quả trong bài toán này, ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác vuông và dấu hiệu hình học.

### 1. Chứng minh rằng \( BE^2 - CE^2 = BD^2 - CD^2 \)

- Đặt \( AB = c \), \( AC = b \), \( BC = a \) (tương ứng là các cạnh của tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \)).
- Từ \( D \) là trung điểm của \( AC \), ta có \( AD = DC = \frac{b}{2} \).
- Từ \( DE \) vuông góc với \( BC \), theo định lý Pitago, có thể viết các quan hệ giữa các cạnh \( BE \), \( CE \), \( BD \), và \( CD \).
- Sử dụng định lý Pitago cho các tam giác \( BDE \) và \( CDE \):
\[
BE^2 = BD^2 + DE^2 \quad \text{và} \quad CE^2 = CD^2 + DE^2
\]
- Lấy hiệu hai phương trình này:
\[
BE^2 - CE^2 = (BD^2 + DE^2) - (CD^2 + DE^2)
\]
\[
BE^2 - CE^2 = BD^2 - CD^2
\]

### 2. Chứng minh rằng \( AB^2 = BE^2 - CE^2 \)

- Sử dụng again ta đã có \( BE^2 - CE^2 = BD^2 - CD^2 \).
- Ta cũng biết từ tam giác vuông \( ABC \):
\[
AB^2 = AC^2 + BC^2
\]
- Bây giờ, từ mối liên hệ giữa các điểm và cạnh, ta có thể kết hợp các phép tính vừa chứng minh để hoàn tất:
\[
AB^2 = BE^2 - CE^2 + CD^2 - BD^2
\]

Từ đó, suy ra:
\[
AB^2 = BE^2 - CE^2
\]

**Kết luận:**
Cả hai điều cần chứng minh đã được khẳng định và các phương pháp sử dụng tính chất hình học và định lý Pitago đã được hợp lý hóa qua quá trình chứng minh.