Để tìm hệ thức độc lập giữa các nghiệm của phương trình \( x^2 - 2(m+1)x + (m^2 + 3m) = 0 \), ta bắt đầu với các công thức cho tổng và tích của các nghiệm.

Giả sử \( x_1 \) và \( x_2 \) là nghiệm của phương trình, ta có:

\[
S = x_1 + x_2 = 2(m+1)
\]

\[
P = x_1 x_2 = m^2 + 3m
\]

Chúng ta có điều kiện \( x_1^2 + x_2^2 = 8 \). Theo công thức, ta có thể viết:

\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = S^2 - 2P
\]

Thay \( S \) và \( P \) vào ta có:

\[
(2(m+1))^2 - 2(m^2 + 3m) = 8
\]

Tiến hành giải phương trình trên:

\[
4(m+1)^2 - 2(m^2 + 3m) = 8
\]

Giải phương trình:

\[
4(m^2 + 2m + 1) - 2m^2 - 6m = 8
\]

\[
4m^2 + 8m + 4 - 2m^2 - 6m = 8
\]

\[
2m^2 + 2m + 4 - 8 = 0
\]

\[
2m^2 + 2m - 4 = 0
\]

Chia cả phương trình cho 2:

\[
m^2 + m - 2 = 0
\]

Giải phương trình bậc 2 này bằng công thức nghiệm:

\[
m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}
\]

\[
m_1 = 1, \quad m_2 = -2
\]

Vậy các giá trị của \( m \) lần lượt là \( m = 1 \) và \( m = -2 \).

### Hệ thức độc lập:
Để tìm hệ thức độc lập giữa các nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \), ta có thể sử dụng:

\[
x_1 + x_2 = 2(m+1)
\]
\[
x_1 x_2 = m^2 + 3m
\]

Từ hai công thức này, hệ thức độc lập giữa 2 nghiệm có thể biểu diễn như sau:

\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2
\]

Chúng ta có thể giữ lại \( S \) và \( P \) để diễn đạt dưới dạng giá trị đã tính. Một phương trình tổng quát có thể được viết trong dạng:

\[
x_1^2 + x_2^2 = (2(m+1))^2 - 2(m^2 + 3m)
\]

Bằng cách này, chúng ta đã có hệ thức độc lập đối với các nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \) của phương trình bậc hai, trong đó \( S = 2(m+1) \) và \( P = m^2 + 3m \).