Cho Sin a - Cos a = m. Tính

Để giải bài toán này, ta có:

\[
\sin a - \cos a = m
\]

Ta sẽ biểu diễn \(\sin a\) và \(\cos a\) dưới dạng \(m\). Ta có thể sử dụng một số đẳng thức và công thức.

**Phần a) \(\sin^3 a - \cos^3 a\)**

Ta có đẳng thức đưa về dạng:

\[
\sin^3 a - \cos^3 a = (\sin a - \cos a)(\sin^2 a + \sin a \cos a + \cos^2 a)
\]

Theo định nghĩa, \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\), nên ta có:

\[
\sin^2 a + \sin a \cos a + \cos^2 a = 1 + \sin a \cos a
\]

Vì thế, ta có:

\[
\sin^3 a - \cos^3 a = (\sin a - \cos a)(1 + \sin a \cos a) = m(1 + \sin a \cos a)
\]

Để tính \(\sin a \cos a\), ta biết rằng \(\sin a \cos a = \frac{1}{2} \sin 2a\) nhưng ta cần có mối quan hệ giữa \(\sin a\) và \(\cos a\) thủy thuộc vào \(m\).

Từ \(\sin a - \cos a = m\), bình phương cả hai vế:

\[
(\sin a - \cos a)^2 = m^2
\]

Suy ra:

\[
\sin^2 a - 2 \sin a \cos a + \cos^2 a = m^2
\]

Từ \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\):

\[
1 - 2 \sin a \cos a = m^2 \implies \sin a \cos a = \frac{1 - m^2}{2}
\]

Thay vào công thức:

\[
\sin^3 a - \cos^3 a = m\left(1 + \frac{1 - m^2}{2}\right) = m\left(\frac{2 + 1 - m^2}{2}\right) = m\left(\frac{3 - m^2}{2}\right)
\]

**Kết quả a)**:

\[
\sin^3 a - \cos^3 a = \frac{m(3 - m^2)}{2}
\]

**Phần b) \(\sin^6 a + \cos^6 a\)**

Ta có:

\[
\sin^6 a + \cos^6 a = (\sin^2 a)^3 + (\cos^2 a)^3
\]

Sử dụng đẳng thức sum of cubes:

\[
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)
\]

Với \(x = \sin^2 a\) và \(y = \cos^2 a\):

\[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
\]

Và \(\sin^2 a \cos^2 a = \left(\frac{1 - m^2}{2}\right)^2\).

Vậy:

\(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\) và \(\sin^2 a \cos^2 a = \frac{(1 - m^2)^2}{4}\).

Do đó, ta sẽ có:

\[
\sin^6 a + \cos^6 a = 1 \cdot \left(1^2 - 3 \cdot \sin^2 a \cos^2 a\right) = 1 - 3 \cdot \frac{(1 - m^2)^2}{4}
\]

Sau khi tính toán sẽ ra:

\(\sin^6 a + \cos^6 a = 1 - \frac{3(1 - 2m^2 + m^4)}{4}\)

Cuối cùng:

**Kết quả b)**:

\[
\sin^6 a + \cos^6 a = \frac{4 - 3 + 6m^2 - 3m^4}{4} = \frac{1 + 6m^2 - 3m^4}{4}
\]