Để chứng minh rằng \( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \) với điều kiện \( a + b + c = 0 \), ta có thể sử dụng định lý sau:

**Định lý:** Nếu \( a + b + c = 0 \), thì \( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \).

**Chứng minh:**

1. Bắt đầu từ điều kiện \( a + b + c = 0 \), ta có thể viết \( c = - (a + b) \).

2. Thay \( c \) vào biểu thức \( a^3 + b^3 + c^3 \):

\[
a^3 + b^3 + c^3 = a^3 + b^3 + (- (a + b))^3
\]

3. Tính \( (- (a + b))^3 \):

\[
(- (a + b))^3 = -(a + b)^3 = -(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3)
\]

Vì vậy,

\[
c^3 = - (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) = -a^3 - b^3 - 3ab(a + b)
\]

4. Tính \( a^3 + b^3 + c^3 \):

\[
a^3 + b^3 + c^3 = a^3 + b^3 - (a^3 + b^3 + 3ab(a + b)) = -3ab(a + b)
\]

5. Nhưng vì \( a + b + c = 0 \) nên \( a + b = -c \). Thay vào:

\[
-3ab(-c) = 3abc
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng:

\[
a^3 + b^3 + c^3 = 3abc
\]

**Kết luận:**
Ta đã chứng minh được rằng với điều kiện \( a + b + c = 0 \), thì \( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \).