Để chứng minh các mệnh đề đã cho, ta sẽ lần lượt xử lý từng phần.

### 1. Chứng minh rằng \(999^4 + 999\) có tận cùng là 3 chữ số 0.

Trước hết, ta có thể viết lại biểu thức như sau:

\[
999^4 + 999 = 999(999^3 + 1)
\]

Để chứng minh \(999^4 + 999\) có tận cùng là 3 chữ số 0, ta cần chứng minh \(999^4 + 999\) chia hết cho \(1000\). Vì \(999\) chia hết cho \(3\) và \(27\) (bởi \(999 = 1000 - 1\)), nó có tận cùng là \(99\) và không có chữ số \(0\) nào.

Bây giờ, ta kiểm tra điều kiện chia hết cho \(8\):

- \(999 \equiv -1 \mod 8\), do đó \(999^4 \equiv (-1)^4 \equiv 1 \mod 8\).
- Ta có \(999 \equiv -1 \mod 8\), do đó \(999 \equiv 7 \mod 8\).

Vậy:

\[
999^4 + 999 \equiv 1 + 7 \equiv 0 \mod 8
\]

Ta làm tương tự cho \(125\) (vì \(1000 = 8 \times 125\)):

- \(999 \equiv -1 \mod 125\), tức là \(999^4 \equiv (-1)^4 \equiv 1 \mod 125\).
- Vậy:

\[
999^4 + 999 \equiv 1 + 999 \equiv 1 + -1 \equiv 0 \mod 125.
\]

Cuối cùng, theo định lý số dư Trung bình (Chinese Remainder Theorem), vì \(999^4 + 999\) chia hết cho \(8\) và \(125\), nên nó cũng chia hết cho \(1000\).

Do đó, \(999^4 + 999\) có tận cùng là 3 chữ số 0.

### 2. Chứng minh rằng \(49^5 - 49\) chia hết cho \(100\).

Ta có thể viết lại biểu thức:

\[
49^5 - 49 = 49(49^4 - 1)
\]

Ta cần chứng minh rằng \(49(49^4 - 1)\) chia hết cho \(100\). Ta thấy \(100 = 4 \times 25\), do đó ta cần chứng minh chia hết cho \(4\) và \(25\).

**Kiểm tra chia hết cho \(4\)**:

- \(49 \equiv 1 \mod 4\) nên:

\[
49^4 \equiv 1^4 \equiv 1 \mod 4
\]

Vậy:

\[
49^4 - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 4.
\]

Do đó, \(49(49^4 - 1)\) chia hết cho \(4\).

**Kiểm tra chia hết cho \(25\)**:

- \(49 \equiv -1 \mod 25\) nên:

\[
49^4 \equiv (-1)^4 \equiv 1 \mod 25
\]

Vậy:

\[
49^4 - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 25.
\]

Do đó, \(49(49^4 - 1)\) cũng chia hết cho \(25\).

Cuối cùng, theo định lý số dư Trung bình (Chinese Remainder Theorem), vì \(49^5 - 49\) chia hết cho \(4\) và \(25\), nên nó cũng chia hết cho \(100\).

Như vậy, cả hai mệnh đề đều đã được chứng minh.