Để giải bài toán này, ta có:

1. **Thay thế các biểu thức bằng các điều kiện đã cho**:
- \( x + y = 1 \)
- \( x^3 + y^3 = 2 \)

2. **Sử dụng công thức**:
- Từ công thức \( x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) \), ta thay \( x + y = 1 \) vào:
\[
x^3 + y^3 = 1(x^2 - xy + y^2) = 2
\]
Vậy:
\[
x^2 - xy + y^2 = 2
\]

- Từ \( x^2 + y^2 \) ta có công thức:
\[
x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 1^2 - 2xy = 1 - 2xy
\]

3. **Biểu thức \( x^2 + y^2 \)**:
- Sử dụng \( x^2 - xy + y^2 = 2 \):
\[
(x^2 + y^2) - xy = 2
\]
Thay \( x^2 + y^2 = 1 - 2xy \):
\[
(1 - 2xy) - xy = 2 \implies 1 - 3xy = 2
\]
Vậy:
\[
3xy = -1 \implies xy = -\frac{1}{3}
\]

4. **Biểu thức \( x^2 + y^2 \)**:
- Thay \( xy \) vào:
\[
x^2 + y^2 = 1 - 2(-\frac{1}{3}) = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}
\]

5. **Tính \( x^4 + y^4 \)**:
- Sử dụng công thức:
\[
x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2
\]
- Tính \( (xy)^2 = \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} \):
\[
x^4 + y^4 = \left(\frac{5}{3}\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{9} = \frac{25}{9} - \frac{2}{9} = \frac{23}{9}
\]

Tóm lại, các giá trị là:
- \( xy = -\frac{1}{3} \)
- \( x^2 + y^2 = \frac{5}{3} \)
- \( x^4 + y^4 = \frac{23}{9} \)

Nếu cần thêm thông tin hay có câu hỏi gì khác, hãy cho mình biết nhé!