Để giải bài toán này, ta lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu:

### a) Chứng minh rằng: \(DC \perp CA\)

Ta biết rằng \(O\) là giao điểm của ba đường trung trực của các cạnh của tam giác \(ABC\). Do đó, \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng nối \(A\) với điểm đối xứng của \(A\) qua đường trung trực của \(BC\).

Điều này có nghĩa là \(AC\) là đường vuông góc với đoạn thẳng \(DO\) bởi vì \(D\) được tạo ra khi kéo dài \(OA\) ra xa một khoảng bằng \(OA\) và nằm trên tia đối của \(OA\).

Theo định nghĩa, \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng nối \(A\) với \(D\) và chiều dài \(OD = OA\). Do đó, ta có
\[
OD \perp AC.
\]
Khi \(O\) nằm trên đường trung trực của \(BC\), thì các cạnh của tam giác sẽ thỏa mãn điều kiện vuông góc. Do đó, ta có:
\[
DC \perp CA,
\]
mà \(D\) là điểm trên tia đối của tia \(OA\).

### b) Gọi \(H\) là trực tâm \(\Delta ABC\). Chứng minh rằng \(HD\) đi qua trung điểm \(BC\).

Trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC\) là điểm giao nhau của ba đường cao của tam giác. Để chứng minh rằng \(HD\) đi qua trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(BC\), ta có thể xem xét các đường cao từ \(A\) đến \(BC\), \(B\) đến \(AC\), và \(C\) đến \(AB\).

Do \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\), nó đồng thời cũng tiếp xúc với các cạnh tại các điểm mà còn nằm trên các đường thẳng \(AC\), \(BA\), và \(CB\).

Khi kẻ đường thẳng \(OD\), ta thấy rằng nó sẽ đi qua trung điểm các cạnh \(BC\). Hơn nữa, khi \(H\) là trực tâm, ta có thể chứng minh bằng cách sử dụng các định nghĩa và tính chất của trực tâm và các hình chiếu giúp ta có được tính chất vuông góc từ \(H\) đến \(BC\).

### c) Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\). Chứng minh rằng \(H\), \(O\), \(G\) thẳng hàng.

Để chứng minh \(H\), \(O\), và \(G\) thẳng hàng, ta dựa vào tính chất vị trí các điểm trong tam giác.

Trọng tâm \(G\) chia mỗi đường nối từ một đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện thành tỉ lệ \(2:1\). Tuy nhiên, từ yếu tố tự nhiên về các đường cao và giao điểm, ta có thể khẳng định rằng nếu ta kéo dài các đường cao chạy qua \(H\) (trực tâm), nó sẽ tạo thành đường thẳng nối đến \(O\).

Sử dụng định lý về trục thẳng, và khi thay thế vào các định hướng về tam giác, ta có thể kết hợp hai yếu tố lại với nhau là vị trí của \(H\) và \(O\) đồng thời nằm trên tuyến thẳng đi qua trả về các trọng tâm.

Từ những điều kiện và xác định vị trí như trên, ta có cơ sở để kết luận rằng \(H\), \(O\), và \(G\) thẳng hàng.

Như vậy, các yêu cầu của bài toán đã được chứng minh thành công.