### Bài a)

Cho \( a = 11...1 \) với \( n \) chữ số 1, và \( b = 100...05 \) với \( n - 1 \) chữ số 0.

Ghi nhận:

- \( a = \frac{10^n - 1}{9} \)
- \( b = 10^n + 5 \)

Ta cần chứng minh rằng \( ab + 1 \) là số chính phương.

Tính \( ab \):

\[
ab = \left( \frac{10^n - 1}{9} \right) \cdot (10^n + 5)
\]

Thực hiện nhân:

\[
= \frac{(10^n - 1)(10^n + 5)}{9} = \frac{10^{2n} + 5 \cdot 10^n - 10^n - 5}{9} = \frac{10^{2n} + 4 \cdot 10^n - 5}{9}
\]

Ta có:

\[
ab + 1 = \frac{10^{2n} + 4 \cdot 10^n - 5 + 9}{9} = \frac{10^{2n} + 4 \cdot 10^n + 4}{9} = \frac{(10^n + 2)^2}{9}
\]

Vì vậy:

\[
ab + 1 = \left( \frac{10^n + 2}{3} \right)^2
\]

Đây là một số chính phương.

### Bài b)

Chứng minh rằng các số hạng của dãy số với số hạng đầu là 16, các số hạng tiếp theo là 16, 1156, 111556,... là số chính phương.

**Chứng minh bằng quy nạp:**

- **Cơ sở**: Với \( n = 1 \), số hạng đầu là 16. \( 16 = 4^2 \) (số chính phương).

- **Giả thiết quy nạp**: Giả sử số hạng thứ \( n \) là số chính phương.

- **Bước quy nạp**: Ta cần chứng minh số hạng \( n + 1 \).

Giả sử số hạng thứ \( n \) có dạng:

\[
x_n = \underbrace{111\ldots1}_{n \text{ chữ số 1}} 56
\]

Khi thêm 15 vào giữa, số hạng mới là:

\[
x_{n+1} = \underbrace{111\ldots1}_{n \text{ chữ số 1}} 1156
\]

Ta có thể kiểm tra rằng:

\[
x_{n+1} = (10^{2n + 2} + 4 \cdot 10^{n + 1} + 4) = (10^{n + 1} + 2)^2
\]

Điều này cho thấy rằng \( x_{n+1} \) cũng là một số chính phương.

Vậy bằng quy nạp, mọi số hạng của dãy đều là số chính phương.