Tìm các số hữu tỉ a; b sao cho đa thức P(x) = x^2 + ax + b có nghiệm 1+ √2

Để tìm các số hữu tỉ \( a \) và \( b \) sao cho đa thức \( P(x) = x^2 + ax + b \) có nghiệm \( 1 + \sqrt{2} \), chúng ta áp dụng định lý Viète.

Giả sử \( P(x) \) có hai nghiệm \( r_1 \) và \( r_2 \), trong đó \( r_1 = 1 + \sqrt{2} \) và \( r_2 \) là nghiệm còn lại.

Theo định lý Viète, ta có:
1. Tổng của hai nghiệm \( r_1 + r_2 = -a \)
2. Tích của hai nghiệm \( r_1 \cdot r_2 = b \)

Từ \( r_1 \), ta có:
\[
r_1 + r_2 = (1 + \sqrt{2}) + r_2 = -a \quad \Rightarrow \quad r_2 = -a - (1 + \sqrt{2})
\]

Và từ tích của hai nghiệm:
\[
r_1 \cdot r_2 = (1 + \sqrt{2}) \cdot r_2 = b
\]

Thay \( r_2 = -a - (1 + \sqrt{2}) \) vào công thức của tích hai nghiệm:
\[
(1 + \sqrt{2})(-a - (1 + \sqrt{2})) = b
\]

Giải phương trình này:
\[
(1 + \sqrt{2})(-a - 1 - \sqrt{2}) = b
\]
\[
= -(1 + \sqrt{2})(a + 1 + \sqrt{2})
\]
\[
= -(a + 1) - (a + 1)\sqrt{2} - (1 + 2) = -a - 1 - a\sqrt{2} - \sqrt{2} - 2
\]
\[
= -2 - a - 1 - (a + 1)\sqrt{2}
\]
Do đó, ta có thể viết lại:
\[
b = -a - 3 - (a + 1)\sqrt{2}
\]

Việc có \( a \) và \( b \) là số hữu tỉ, điều này yêu cầu \( b \) không chứa thành phần \(\sqrt{2}\). Do đó, phần chứa \(\sqrt{2}\) phải bằng 0, và ta có hệ phương trình:
1. \( a + 1 = 0 \)
2. \( b = -3 \)

Giải phương trình 1:
\[
a + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = -1
\]
Thay giá trị của \( a \) vào phương trình 2:
\[
b = -3
\]

Vậy, các số hữu tỉ \( a \) và \( b \) là:
\[
a = -1, \quad b = -3
\]

Như vậy, đáp án là: \( a = -1 \) và \( b = -3 \).