Rút gọn các biểu thức sau:

Để rút gọn các biểu thức đã cho, ta sẽ áp dụng một số công thức lượng giác cơ bản. Dưới đây là cách rút gọn cho từng biểu thức:

**a)** \( A = \sin 5a \cos 5a \)

Sử dụng công thức:
\[
\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)
\]
Ta có:
\[
A = \frac{1}{2} \sin(10a)
\]

---

**b)** \( B = \sin a \cos a \cos 2a \cos 4a \)

Sử dụng công thức:
\[
\sin a \cos a = \frac{1}{2} \sin(2a)
\]
Ta cũng có:
\[
B = \frac{1}{2} \sin(2a) \cos 2a \cos 4a
\]
Tiếp tục dùng công thức như trên cho \(\cos 2a \cos 4a\):
\[
\cos 2a \cos 4a = \frac{1}{2} (\cos(2a + 4a) + \cos(2a - 4a)) = \frac{1}{2} (\cos(6a) + \cos(2a))
\]
Nên:
\[
B = \frac{1}{4} \sin(2a) (\cos(6a) + \cos(2a))
\]

---

**c)** \( C = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} \)

Sử dụng công thức:
\[
\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)
\]
Ta có:
\[
C = \cos x
\]

---

**d)** \( D = (\sin 5a \cos 2a - \sin 2a \cos 5a)(\cos 2a \cos a - \sin 2a \sin a) \)

Sử dụng công thức:
\[
\sin x \cos y - \sin y \cos x = \sin(x - y)
\]
Ta có:
\[
\sin 5a \cos 2a - \sin 2a \cos 5a = \sin(5a - 2a) = \sin(3a)
\]
Và:
\[
\cos 2a \cos a - \sin 2a \sin a = \cos(2a + a) = \cos(3a)
\]
Nên:
\[
D = \sin(3a) \cos(3a) = \frac{1}{2} \sin(6a)
\]

---

Tóm lại các biểu thức đã được rút gọn như sau:
- \( A = \frac{1}{2} \sin(10a) \)
- \( B = \frac{1}{4} \sin(2a)(\cos(6a) + \cos(2a)) \)
- \( C = \cos x \)
- \( D = \frac{1}{2} \sin(6a) \)