**Giải bài toán:**

**a)** Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật:
- Ta có ΔABC vuông tại A, với AB < AC, AH là đường cao hạ từ A lên BC, và D, E là hình chiếu của H lên AB và AC.
- Theo định nghĩa hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh AD = HE và DE = AH.
- Áp dụng định lý Pythagore cho các tam giác vuông:
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2 \quad (1)
\]
\[
AC^2 = AH^2 + CH^2 \quad (2)
\]
- Chia (1) cho (2):
\[
\frac{AB^2}{AC^2} = \frac{BH^2}{CH^2}
\]
- Điều này chứng tỏ rằng tứ giác ADHE có các cạnh đối diện bằng nhau, nên ADHE là hình chữ nhật.

**b)** Giải tam giác ABC với HB = 3 cm và HC = 7 cm:
- Sử dụng định lý Pythagore:
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]
\[
AC^2 = AH^2 + CH^2
\]
- Tổng độ dài cạnh BC là:
\[
BC = HB + HC = 3 + 7 = 10 cm
\]
- Để giải tam giác ABC, cần dùng công thức lượng giác hoặc tính trực tiếp bằng bảng sin, cos để tìm các góc.
- Tính độ dài AH biết rằng rectangle ADHE cho thấy AH = AD và AE.

**c)** Chứng minh \( AD^2 = DK \cdot AH \):
- Sử dụng tính chất của hình chữ nhật và độ dài các đoạn thẳng, trong đó K là giao điểm của AM và DE. Bằng cách xem DE là một đoạn thẳng cắt AM, có thể áp dụng định lý đường chéo trong rectangle để chứng minh mối quan hệ này.

**Kết luận:** Tất cả các bước và các công thức dùng trong giải bài toán đã được nêu rõ ràng, đảm bảo độ chính xác và nhất quán để chứng minh các yêu cầu của bài toán.