Để chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn, ta sử dụng định lý về điểm đối xứng và tính chất của tam giác vuông.

Giả sử tam giác ABC có \( A \) là đỉnh chóp, \( B \) và \( C \) là hai điểm còn lại sao cho \( \angle ABC = 90^\circ \). Ta đặt \( D \) là điểm đối xứng với \( A \) qua cạnh \( BC \).

1. **Xác định vị trí của D**:
- Điểm \( D \) nằm ở phía bên kia của đoạn thẳng \( BC \) và cách đều \( B \) và \( C \) với độ dài là đoạn \( AB = AD \).

2. **Xem xét tam giác ABD và tam giác ACD**:
- Từ \( A \) và để có được \( D \), ta biết rằng \( AB = AD \) và \( AC = CD \) (bởi vì \( D \) là đối xứng của \( A \) qua \( BC \)).
- Do đó, \( \triangle ABD \) và \( \triangle ACD \) là các tam giác vuông tại \( B \) và \( C \) tương ứng.

3. **Xét tính chất của góc**:
- Trong tam giác \( ABC \), do \( \angle ABC = 90^\circ \), nên \( \angle ABD = 90^\circ \) (vì là góc góc vuông tại B).
- Tương tự, \( \angle ACD = 90^\circ \).

4. **Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn**:
- Từ \( B \) và \( C \) là hai đỉnh, góc \( \angle ABD \) và góc \( \angle ACD \) đều bằng \( 90^\circ \).
- Từ tính chất của đường tròn, nếu tại hai điểm \( B \) và \( C \) có một góc chắn trung điểm (tại A và D) với giá trị \( 90^\circ \), thì A, B, C, D sẽ cùng nằm trên một đường tròn có đường kính là đoạn thẳng \( BD \).

Kết luận, bốn điểm A, B, C và D đều trên một đường tròn có đường kính là đoạn thẳng \( BD \).