Cho đa thức f(x) khác hằng với các hệ số nguyên thỏa mãn: f(3) * f(4) = f(7). Chứng minh f(x) - 12 không có nghiệm nguyên

Để chứng minh rằng đa thức \( f(x) - 12 \) không có nghiệm nguyên, ta sẽ sử dụng điều kiện cho trước là:

\[
f(3) \cdot f(4) = f(7).
\]

Giả sử rằng \( x_0 \) là một nghiệm nguyên của \( f(x) - 12 \), tức là \( f(x_0) = 12 \). Ta sẽ thay \( f(x_0) \) vào phương trình đã cho.

Từ giả thiết trên, ta có:

\[
f(3) \cdot f(4) = f(7).
\]

Rõ ràng, nếu \( f(x_0) = 12 \), ta có thể viết lại các giá trị của \( f \) tại \( x = 3, 4, 7 \) như sau:

\[
f(3) = 12 + a, \quad f(4) = 12 + b, \quad f(7) = 12 + c,
\]

trong đó \( a, b, c \) là các số nguyên. Thay các giá trị vào phương trình ta có:

\[
(12 + a)(12 + b) = 12 + c.
\]

Mở rộng vế trái:

\[
144 + 12a + 12b + ab = 12 + c.
\]

Chuyển hết về một bên, ta có:

\[
ab + 12a + 12b + 132 - c = 0.
\]

Gọi \( S = ab + 12a + 12b + 132 - c \). Ta có \( S = 0 \), điều này có nghĩa là \( S \) là một số nguyên.

Giờ chúng ta sẽ xem xét các giá trị \( f(3), f(4), f(7) \) có thể lấy được. Từ điều kiện \( f(3) \cdot f(4) = f(7) \), vì \( f(x) \) là một đa thức bậc lớn hơn hoặc bằng 1, thì \( f(3), f(4), f(7) \) phải cùng có dấu. Ý tưởng này đi kèm với việc xét số dấu của chúng:

Giả sử \( f(3) < 0 \) (có thể là), thì \( f(4) < 0 \) từ đó \( f(7) < 0 \) theo điều kiện. Nhưng như vậy \( f(3) \cdot f(4) > 0 \) mà \( f(7) \) cũng < 0, điều này là mâu thuẫn.

Nếu \( f(3) > 0 \), thì giống như trên, \( f(4) > 0 \) và \( f(7) > 0 \), dẫn đến không có nghiệm nguyên trong trường hợp này.

Cuối cùng:

Từ tất cả đánh giá trên, \( S = ab + 12a + 12b + 132 - c \) không thể nhận được nghiệm nguyên cho \( f(x) - 12 = 0 \). Vậy trước cái, ta kết luận rằng:

\[
f(x) - 12 \text{ không có nghiệm nguyên.}
\]

Chứng minh hoàn tất.