Để giải bài toán này, ta sử dụng các ký hiệu và công thức liên quan đến tốc độ chảy của vòi nước.

1. **Gọi \( v_1 \) là tốc độ chảy của vòi I và \( v_2 \) là tốc độ chảy của vòi II.**
Theo đề bài, nếu hai vòi chảy cùng lúc trong 12 giờ thì bể đầy. Ta có:

\[
(v_1 + v_2) \cdot 12 = 1 \quad \text{(1)}
\]

(1 là thể tích của bể)

2. **Sau khi chảy 8 giờ, lượng nước chảy vào bể là:**

\[
(v_1 + v_2) \cdot 8 \quad \text{(2)}
\]

3. **Lượng nước còn lại trong bể:**

\[
1 - (v_1 + v_2) \cdot 8 \quad \text{(3)}
\]

4. **Vòi II tiếp tục chảy và tăng công suất gấp đôi, và đã chảy trong 3.5 giờ để đầy phần còn lại của bể:**

\[
2v_2 \cdot 3.5 = 1 - (v_1 + v_2) \cdot 8 \quad \text{(4)}
\]

5. **Từ (1), ta có:**

\[
v_1 + v_2 = \frac{1}{12}
\]

6. **Thay thế vào (3):**

\[
1 - \left(\frac{1}{12}\right) \cdot 8 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}
\]

7. **Thay vào (4):**

\[
2v_2 \cdot 3.5 = \frac{1}{3}
\]
\[
7v_2 = \frac{1}{3}
\]
\[
v_2 = \frac{1}{21}
\]

8. **Thay vào (1) để tìm \( v_1 \):**

\[
v_1 + \frac{1}{21} = \frac{1}{12}
\]
\[
v_1 = \frac{1}{12} - \frac{1}{21} = \frac{7 - 4}{84} = \frac{3}{84} = \frac{1}{28}
\]

9. **Cuối cùng, tính thời gian để đầy bể khi mỗi vòi hoạt động độc lập:**

- Thời gian của vòi I:
\[
T_1 = \frac{1}{v_1} = 28 \text{ giờ}
\]

- Thời gian của vòi II:
\[
T_2 = \frac{1}{v_2} = 21 \text{ giờ}
\]

**Kết luận:**
- Nếu vòi I hoạt động độc lập thì mất 28 giờ để đầy bể và vòi II mất 21 giờ.