Để giải bài toán này, ta sử dụng một số đặc điểm của tam giác cân và tỉ lệ các đoạn thẳng liên quan đến giao điểm của các đường phân giác.

Gọi \( AB = AC = x \) (vì tam giác ABC cân tại A).

Theo định lý về đường phân giác trong tam giác, ta có:

\[ \frac{AI}{IB} = \frac{AC}{BC} \]

Vì tam giác cân, ta có \( AC = AB \) nên \( BC = AB = x \).

Gọi \( AI = 2\sqrt{5} \) và \( IB = 3 \).

Vậy ta có:

\[
\frac{AI}{IB} = \frac{2\sqrt{5}}{3}
\]

Thay vào biểu thức tỉ lệ, ta có:

\[
\frac{2\sqrt{5}}{3} = \frac{x}{x}
\]

Vì \( BC = AC \) nên nó sẽ đơn giản hơn:

Từ định lý đường phân giác, ta biết rằng:

\[
AI^2 = \frac{AB \cdot AC(AB + AC - BC)}{(AB + AC)^2}
\]

Vì \( AB = AC = x \) và \( BC = x \), ta có:

\[
AI^2 = \frac{x \cdot x (x + x - x)}{(x + x)^2}
\]

Tức là:

\[
AI^2 = \frac{x^2 \cdot x}{(2x)^2} = \frac{x^3}{4x^2} = \frac{x}{4}
\]

Giờ ta thay giá trị của \( AI \):

\[
(2\sqrt{5})^2 = \frac{x}{4}
\]

Hay:

\[
20 = \frac{x}{4}
\]

Giải phương trình này, ta có:

\[
x = 20 \times 4 = 80
\]

Vậy ta có chiều dài cạnh \( AB \):

\[
AB = AC = 80 \text{ cm}
\]

Kết luận, \( AB = 80 \text{ cm} \).