Để tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức đã cho, ta sẽ sử dụng các phương pháp tính đạo hàm và nghiệm của các phương trình bậc hai.

### a) M = 4x - x² + 3

1. Tính đạo hàm của M:
\[
M' = 4 - 2x
\]

2. Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị:
\[
4 - 2x = 0 \implies x = 2
\]

3. Tính M tại x = 2:
\[
M(2) = 4(2) - (2)^2 + 3 = 8 - 4 + 3 = 7
\]

4. Kiểm tra dấu đạo hàm xung quanh x = 2:
- Với \( x < 2 \) ⇒ \( M' > 0 \) (Hàm tăng)
- Với \( x > 2 \) ⇒ \( M' < 0 \) (Hàm giảm)

=> M đạt giá trị lớn nhất tại \( x = 2 \) và \( M = 7 \).

### b) N = x - x²

1. Tính đạo hàm của N:
\[
N' = 1 - 2x
\]

2. Đặt đạo hàm bằng 0:
\[
1 - 2x = 0 \implies x = \frac{1}{2}
\]

3. Tính N tại \( x = \frac{1}{2} \):
\[
N\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}
\]

4. Kiểm tra dấu đạo hàm:
- Với \( x < \frac{1}{2} \) ⇒ N' > 0 (Hàm tăng)
- Với \( x > \frac{1}{2} \) ⇒ N' < 0 (Hàm giảm)

=> N đạt giá trị lớn nhất tại \( x = \frac{1}{2} \) và \( N = \frac{1}{4} \).

### c) P = 2x - 2x² - 5

1. Tính đạo hàm của P:
\[
P' = 2 - 4x
\]

2. Đặt đạo hàm bằng 0:
\[
2 - 4x = 0 \implies x = \frac{1}{2}
\]

3. Tính P tại \( x = \frac{1}{2} \):
\[
P\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\right) - 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 5 = 1 - \frac{1}{2} - 5 = -4.5
\]

4. Kiểm tra dấu đạo hàm:
- Với \( x < \frac{1}{2} \) ⇒ P' > 0 (Hàm tăng)
- Với \( x > \frac{1}{2} \) ⇒ P' < 0 (Hàm giảm)

=> P đạt giá trị lớn nhất tại \( x = \frac{1}{2} \) và \( P = -4.5 \).

### Kết luận:
- Giá trị lớn nhất của:
- \( M = 7 \)
- \( N = \frac{1}{4} \)
- \( P = -4.5 \)

Để chứng minh rằng giá trị của các biểu thức không phụ thuộc vào giá trị cụ thể của x, có thể kiểm tra tính chất hai đối ngẫu của các biểu thức có thể giúp tìm ra các hệ quả tương tự.