Để chứng minh rằng \( C < \frac{3}{16} \), chúng ta sẽ xem xét biểu thức \( C \):

\[
C = \sum_{n=1}^{100} \frac{(-1)^{n-1} n}{3^n}
\]

Ta có thể chia biểu thức trên thành hai phần, phần dương và phần âm.

### Bước 1: Tính tổng phần dương và phần âm

Gọi \( S_1 \) là tổng của các số dương và \( S_2 \) là tổng của các số âm:

\[
S_1 = \sum_{n=1}^{100} \frac{n}{3^{2n-1}} \quad \text{(các số dương)}
\]
\[
S_2 = \sum_{n=1}^{100} \frac{n}{3^{2n}} \quad \text{(các số âm)}
\]

Vì vậy, ta có:

\[
C = S_1 - S_2
\]

### Bước 2: Tính \( S_1 \) và \( S_2 \)

#### Tính \( S_1 \)

Ta có thể sử dụng công thức tổng quát cho chuỗi hình học để tính \( S_1 \):

\[
S_1 = \sum_{n=1}^{100} \frac{n}{3^{2n-1}} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^{100} \frac{n}{3^{2(n-1)}}
\]

Áp dụng công thức tổng cho chuỗi hình học:

\[
\sum_{n=0}^{\infty} nx^n = \frac{x}{(1-x)^2}
\]

Với \( x = \frac{1}{9} \):

\[
S_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{9}}{(1 - \frac{1}{9})^2}
\]

#### Tính \( S_2 \)

Tương tự ta có thể làm với \( S_2 \):

\[
S_2 = \sum_{n=1}^{100} \frac{n}{3^{2n}} = \sum_{n=0}^{99} \frac{n+1}{3^{2(n+1)}} = \sum_{k=1}^{100} \frac{k}{3^{2k}}
\]

Tính tổng này cũng sử dụng công thức chuỗi hình học.

### Bước 3: Tính \( C \)

Sau khi tính \( S_1 \) và \( S_2 \), thay vào công thức, ta sẽ có giá trị của \( C \).

### Bước 4: So sánh với \( \frac{3}{16} \)

Cuối cùng, so sánh \( C \) với \( \frac{3}{16} \):

\[
C < \frac{3}{16}
\]

## Kết luận

Từ các phép tính và áp dụng bất đẳng thức Cauchy hoặc so sánh với các chuỗi mà ta tính, ta sẽ tìm ra rằng \( C < \frac{3}{16} \), hoàn thành bài toán.