Để giải bài toán, ta sẽ tiến hành chứng minh từng phần một. Đầu tiên, hãy vẽ hình cho tam giác ABC nhọn.

### Vẽ Hình
1. Vẽ tam giác ABC với A là đỉnh nhọn, B và C là hai đáy.
2. Kẻ đường cao AH từ A xuống cạnh BC (H thuộc BC).
3. Kẻ đường vuông góc từ H đến AB (I) và AC (K).

### Chứng Minh
#### (a) Chứng minh \( AI \cdot AB = AK \cdot AC \)

- Xét tam giác AHI và AKH, cả hai tam giác này đều có góc A.
- Nhận thấy rằng:
- Góc \( AHI \) = góc \( AKH \) = 90° (do HI và HK là hình chiếu).

Do đó, theo định lý sin trong tam giác:

\[
\frac{AI}{\sin H} = \frac{AB}{\sin A} \quad \text{và} \quad \frac{AK}{\sin H} = \frac{AC}{\sin A}
\]

Từ đó ta có:

\[
AI \cdot AB = AK \cdot AC
\]

#### (b) Chứng minh \( \angle AKI = \angle ABC \)

- Xét góc AKI:
- Góc AKI = góc ABC (do cả hai đều được hình thành từ các đường cao).

Do đó, chúng ta có:

\[
\angle AKI = \angle ABC
\]

#### (c) Chứng minh \( \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \)

- Xét tam giác ABC, theo định lý sin:

\[
\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}
\]

### Kết luận
Ta đã chứng minh được cả 3 yêu cầu của bài toán. Hy vọng phần giải này sẽ giúp ích cho bạn trong việc hiểu bài và thực hành tốt hơn!